Каков радиус сферы, если грань двугранного угла составляет 90° и ближайшее расстояние по сфере между точками касания

Marat

44

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать некоторые свойства двугранных углов и сферы.

Для начала, давайте разберемся в определении двугранного угла. Двугранный угол - это угол между двумя плоскостями, пересекающимися по общей прямой, называемой гранью двугранного угла. В данной задаче, грань двугранного угла составляет 90°.

Теперь, вспомним о сфере и ее свойствах. Сфера - это геометрическое тело, все точки которого находятся на одинаковом расстоянии от центра. Радиус сферы - это расстояние от центра сферы до любой ее точки.

Мы знаем, что ближайшее расстояние по сфере между точками касания составляет 26π ед. изм. Для определения радиуса сферы, нам понадобится выразить это расстояние через радиус.

Мы можем сделать следующую рассуждение: поскольку данное расстояние представляет собой путь по сферической поверхности между точками касания, мы можем представить его как длину дуги окружности на сфере.

Радиус такой окружности будет равен радиусу сферы. Длина дуги окружности на сфере можно вычислить, используя соотношение между длиной дуги и центральным углом, который дуга охватывает.

В данном случае, центральный угол равен 90°. Значит, длина дуги будет равна четверти окружности на сфере.

Соотношение между длиной дуги окружности на сфере \(L\), радиусом сферы \(r\) и центральным углом \(\theta\) задается формулой:

\[L = 2\pi r \left(\frac{\theta}{360°}\right)\]

В данном случае центральный угол \(\theta = 90°\), поэтому:

\[L = 2\pi r \left(\frac{90°}{360°}\right) = 2\pi r \cdot \frac{1}{4}\]

Мы знаем, что данное расстояние составляет 26π ед. изм., поэтому мы можем записать следующее:

\[2\pi r \cdot \frac{1}{4} = 26\pi\]

Давайте решим это уравнение для нахождения радиуса \(r\):

\[r = \frac{26\pi}{2\pi \cdot \frac{1}{4}}\]

Сокращаем \(\pi\) и упрощаем выражение:

\[r = \frac{26}{2 \cdot \frac{1}{4}}\]

Далее, упрощаем дробь:

\[r = \frac{26}{\frac{1}{2}}\]

Для удобства, мы можем умножить числитель и знаменатель на 2:

\[r = \frac{26 \cdot 2}{1}\]

Выполняем умножение:

\[r = 52\]

Таким образом, радиус сферы составляет 52 ед. изм.

Надеюсь, это пояснение было понятным и полезным! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Желаю успехов в изучении математики!