Каков радиус сферы, который касается плоскости равностороннего треугольника с радиусом вписанной окружности 4 см

Пеликан_9260

28

Чтобы найти радиус сферы, которая касается плоскости равностороннего треугольника, в котором имеется вписанная окружность с радиусом 4 см и расстояние до стороны треугольника составляет 5 см, нам потребуется использовать некоторые свойства геометрии.

1) Рассмотрим центр вписанной окружности треугольника. По свойству вписанной окружности, радиус вписанной окружности перпендикулярен к сторонам треугольника и проходит через точку касания окружности и стороны треугольника. Таким образом, мы можем построить прямые, проходящие через точки касания окружности с треугольником и перпендикулярные к соответствующим сторонам треугольника. Пусть треугольник ABC - равносторонний треугольник, где точка O является центром вписанной окружности, а точки P, Q и R - точки касания окружности со сторонами треугольника.

2) Так как треугольник ABC является равносторонним, все стороны треугольника равны друг другу. Обозначим длину стороны треугольника как a.

3) Также из известных данных мы знаем, что радиус вписанной окружности равен 4 см.

4) Давайте рассмотрим половину одной из сторон треугольника, например стороны AB. Мы можем разбить эту сторону на два отрезка, BP и BA. Таким образом, длина отрезка BP будет равна длине отрезка BA, так как угол PBQ - прямой (построенный в 1-м пункте).

5) Очевидно, что \(BP = \frac{a}{2}\). С учетом этого, давайте рассмотрим треугольник BPQ.

6) Треугольник BPQ - прямоугольный, так как радиус вписанной окружности перпендикулярен к стороне треугольника (PB) и проходит через точку касания окружности (P).

7) По свойствам прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Гипотенузой треугольника BPQ является отрезок PQ.

8) По определению, PQ - это расстояние от центра окружности O до стороны треугольника. Длина этого отрезка равна 5 см (задано в условии задачи).

9) Таким образом, получаем уравнение для треугольника BPQ: \((\frac{a}{2})^2 + 4^2 = 5^2\).

10) Раскрывая скобки и упрощая уравнение, получаем: \(\frac{a^2}{4} + 16 = 25\).

11) Перенеся 16 на другую сторону и умножая обе части уравнения на 4, получаем: \(a^2 = 36\).

12) Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем: \(a = 6\).

13) Таким образом, сторона треугольника \(AB\) равна 6 см.

14) Теперь, чтобы найти радиус сферы, обозначенный как \(R\), используем формулу для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

15) Подставив значение стороны треугольника (a = 6) в формулу, получаем: \(R = \frac{6}{\sqrt{3}}\).

16) Упрощая это выражение, получаем радиус сферы: \(R = 2 \sqrt{3}\).

Таким образом, радиус сферы, которая касается плоскости равностороннего треугольника с радиусом вписанной окружности 4 см в его центре и имеет расстояние 5 см до стороны треугольника, равен \(2 \sqrt{3}\) см.