Каков радиус шара, который вписан в данную восьмиугольную пирамиду, если известно, что апофема равна 10 и площадь

Alekseevich_6071

56

Для решения этой задачи нам понадобится знание о вписанной сфере и вписанных углах.

Рассмотрим треугольник, образованный основанием восьмиугольной пирамиды и радиусом вписанной сферы. Радиус вписанной сферы и апофема пирамиды будут радиусами окружностей, описанных вокруг этого треугольника. Делаем важное наблюдение: радиус окружности, описанной вокруг треугольника, будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника, а радиус вписанной окружности будет являться радиусом вписанной окружности треугольника.

По данной информации мы можем провести некоторые вычисления. Пусть \(r\) - радиус вписанной сферы, \(R\) - радиус окружности, описанной вокруг треугольника, и \(h\) - апофема пирамиды.

Используя формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник, имеем:

\[r = \frac{{\text{Площадь треугольника}}}{{\text{Полупериметр треугольника}}}}\]

Полупериметр треугольника равен периметру треугольника, деленному на 2. Так как пирамида восьмиугольная, она имеет 8 равных сторон, поэтому периметр будет равен \(8 \times \text{длина стороны}\). Давайте обозначим длину стороны треугольника как \(a\).

Теперь рассмотрим площадь круга, вписанного в основание пирамиды. Площадь круга можно найти по формуле \(\pi r^2\), где \(r\) - радиус этого круга. Из условия задачи нам уже дана площадь круга, равная \(36\pi\). Подставим эту информацию в формулу:

\(\pi r^2 = 36\pi\)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(r\) и \(a\)). Мы можем решить эту систему уравнений, подставив значение \(r\) из первого уравнения во второе уравнение.

Уравнение, связывающее радиусы, будет иметь вид:

\(\frac{a}{2} = R\)

Уравнение, связывающее площади, будет иметь вид:

\(\pi r^2 = 36\pi\)

Из уравнения, связывающего радиусы, мы можем выразить \(a\) через \(R\):

\(a = 2R\)

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

\(\frac{2R}{2} = R\)

\(R = R\)

Мы получили очевидное равенство, что нам ничего не даёт. Давайте вернемся к первому уравнению и решим его относительно \(a\):

\(r = \frac{{\text{Площадь треугольника}}}{{\text{Полупериметр треугольника}}}}\)

Мы уже вычислили периметр треугольника, равным \(8a\). Также, чтобы найти площадь треугольника, нам нужно знать его высоту. Пусть высота треугольника равна \(h_T\). Тогда площадь треугольника можно найти по формуле:

\(\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{Основание треугольника} \times \text{Высота треугольника}\)

Вторая грань восьмиугольной пирамиды будет прямоугольным треугольником, у которого основание равно \(a\), а высота равна \(h_T\). Так как восьмиугольная пирамида состоит из 8 равных граней, высота треугольника будет равна высоте пирамиды \(h\).

Теперь подставим все известные значения в формулу и выразим \(a\):

\(r = \frac{36\pi}{8a + 8a + 8a}\)
\(r = \frac{36\pi}{24a}\)
\(a = \frac{36\pi}{24r}\)

Теперь мы можем подставить это значение \(a\) в уравнение \(a = 2R\) и выразить \(R\):

\(2R = \frac{36\pi}{24r}\)
\(R = \frac{36\pi}{48r}\)
\(R = \frac{3\pi}{4r}\)

Итак, мы получили выражение для \(R\) через радиус вписанной сферы \(r\). Теперь можем заменить \(R\) в уравнении \(\pi r^2 = 36\pi\):

\(\pi r^2 = 36\pi\)
\(\frac{3\pi}{4r} r^2 = 36\pi\)
\(3r = 36\)
\(r = \frac{36}{3}\)
\(r = 12\)

Ответ: радиус шара, вписанного в данную восьмиугольную пирамиду, равен 12.