Каков радиус шара, описанного вокруг правильной шестиугольной усеченной пирамиды с основанием сторонами 3 и 4 и высотой

Skorostnaya_Babochka

24

Для решения данной задачи нам потребуется использовать некоторые свойства правильных многогранников. Начнем с определения усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида - это такой многогранник, у которого верхнее основание параллельно нижнему основанию, а все боковые грани усеченной пирамиды представляют собой равнобедренные трапеции.

В нашей задаче имеется правильная шестиугольная усеченная пирамида с основанием, состоящим из шестиугольника со сторонами длиной 3 и 4, и высотой, которую мы обозначим за h.

Чтобы найти радиус шара, описанного вокруг усеченной пирамиды, нам понадобится выяснить высоту и радиус меньшего основания усеченной пирамиды. Затем, с помощью найденных величин, мы сможем применить формулу для радиуса описанной окружности правильного шестиугольника.

Для начала найдем высоту меньшего основания, обозначим ее за h".
Высота меньшего основания усеченной пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора. Рассмотрим треугольник, образованный половиной одной стороны большего основания, биссектрисой этой стороны и высотой h". Заметим, что этот треугольник является прямоугольным.

Мы знаем, что стороны большего основания пирамиды равны 3 и 4, следовательно, половина стороны будет равна 1,5 и 2 соответственно.
Итак, применяя теорему Пифагора, получим:

\((\frac{h"}{2})^2 + 1.5^2 = 2^2\)

\(\frac{h"^2}{4} + 2.25 = 4\)

\(\frac{h"^2}{4} = 4 - 2.25\)

\(\frac{h"^2}{4} = 1.75\)

можем перемножить обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(h"^2 = 1.75 \times 4\)

\(h"^2 = 7\)

Теперь найдем высоту h через использование подобия треугольников.

Так как усеченная пирамида правильная, то у нее есть симметричные оси симметрии, которые проходят через вершины оснований и вершину пирамиды. Они пересекаются в центре оснований малой и большой пирамиды. Таким образом, высота h является высотой равнобедренного треугольника со сторонами 3, h и радиусом меньшего основания.

Используя подобие треугольников, можем составить пропорцию:

\(\frac{h"}{3} = \frac{h}{r"}\),

где r" - радиус меньшего основания пирамиды.

Так как мы нашли ранее h"^2 = 7, то h" = √7.

Подставляя эти значения в пропорцию:

\(\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{h}{r"}\),

можем выразить высоту h через радиус меньшего основания r":

\(h = \frac{3\sqrt{7}}{r"}\).

Теперь, найдя высоту h, мы можем применить формулу для радиуса описанной окружности правильного шестиугольника.

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен половине длины его стороны (R = \(\frac{S}{2}\)), где S - длина стороны шестиугольника.

Сначала найдем длину стороны шестиугольника. Она равна разности длин сторон большего и меньшего основания пирамиды, и получается так:

\(S = 4 - 3 = 1\).

Так как радиус R равен половине длины стороны, то R = \(\frac{1}{2}\).

Осталось только найти радиус описанной окружности, используя полученные ранее значения:

\(r = R \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{r"} = \frac{3\sqrt{7}}{2r"}\).

Итак, радиус шара, описанного вокруг данной усеченной пирамиды, будет равен \(\frac{3\sqrt{7}}{2r"}\).

Надеюсь, это решение поможет вам понять, как найти радиус шара, описанного вокруг правильной шестиугольной усеченной пирамиды с данной геометрической конфигурацией. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!