Каков радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, на основании которой сторона равна 6 см, а угол

Музыкальный_Эльф

17

Добрый день! Чтобы найти радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, сначала нам нужно рассмотреть особенности данной пирамиды.

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является равносторонний треугольник. В этой задаче сторона основания треугольника составляет 6 см.

Также нам дано, что угол между боковым ребром (ребро, соединяющее вершину пирамиды с серединой основания) и плоскостью основы составляет 30°.

Радиус шара, в который вписана треугольная пирамида, представляет собой расстояние от центра шара до любой вершины пирамиды.

Чтобы решить эту задачу, давайте представим пирамиду и нарисуем её сечение, проходящее через вершину пирамиды и основание (рисунок будет полезным для понимания решения).

[Вставить сюда соответствующий рисунок пирамиды]

Мы видим, что у нас получается четырёхугольник, который можно разделить на два равносторонних треугольника, так как ребра пирамиды равны.

[Вставить сюда соответствующий рисунок разделённой пирамиды]

Рассмотрим один из этих равносторонних треугольников, который образуется между центром шара, вершиной пирамиды и серединой основания.

[Вставить сюда соответствующий треугольник]

Здесь угол между боковым ребром и плоскостью основы также составляет 30°.

[Вставить сюда угол 30° на рисунке]

Давайте обратимся к справочным знаниям о равносторонних треугольниках. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а углы равны 60°.

[Вставить сюда равносторонний треугольник]

У нас есть информация о треугольнике, вспомним основные связи.

[Вставить сюда соответствующую формулу о связи радиуса описанной окружности с стороной треугольника]

\[R = \frac{a}{2\sin\frac{\pi}{3}}\]

Здесь \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\) - сторона треугольника.

Данная формула позволяет нам найти радиус шара по стороне треугольника.

Подставим известные значения и вычислим:

\[R = \frac{6}{2\sin\frac{\pi}{3}}\]

\[R = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: радиус шара, в который вписана данная треугольная пирамида, равен \(2\sqrt{3}\) см.

Я надеюсь, что моё объяснение и пошаговое решение задачи были ясными и понятными. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!