Какова длина отрезка AN в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, где проведена высота CH и AC равно 8, если

Shmel

58

Для решения данной задачи нам потребуется применить теорему Пифагора и тригонометрию.

Шаг 1: Вычислим длину стороны AB с помощью тригонометрического соотношения в прямоугольном треугольнике ABC:

Поскольку угол ABC равен 30 градусов, мы знаем, что тангенс этого угла (tg(30)) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
\[tg(30) = \frac{CH}{AC}\]

Так как AC равно 8, мы можем переписать это уравнение как:
\[tg(30) = \frac{CH}{8}\]

Решим это уравнение относительно CH:
\[CH = 8 \cdot tg(30)\]

Шаг 2: Найдем длину стороны BC, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:
\[AC^2 = AH^2 + CH^2\]

Подставим известные значения:
\[8^2 = AH^2 + (8 \cdot tg(30))^2\]

Вычислим это:
\[64 = AH^2 + (8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}})^2\]
\[64 = AH^2 + \frac{64}{3}\]

Выразим \(AH^2\):
\[AH^2 = 64 - \frac{64}{3}\]
\[AH^2 = \frac{192}{3} - \frac{64}{3}\]
\[AH^2 = \frac{128}{3}\]

Поскольку треугольник является прямоугольным, высота AH, проходящая через вершину прямого угла C, также является катетом треугольника ABC. Таким образом, мы нашли длину стороны BC: \(BC = AH = \sqrt{\frac{128}{3}}\).

Шаг 3: Найдем длину стороны AN, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AHN:
\[AN^2 = AH^2 + HN^2\]

Так как сторона BC равна AH, мы можем записать это уравнение:
\[AN^2 = BC^2 + HN^2\]

Подставим известные значения:
\[AN^2 = (\sqrt{\frac{128}{3}})^2 + (8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})^2\]

Рассчитаем это:
\[AN^2 = \frac{128}{3} + (\frac{16}{\sqrt{3}})^2\]
\[AN^2 = \frac{128}{3} + \frac{256}{3}\]
\[AN^2 = \frac{384}{3}\]

Упростим это:
\[AN^2 = 128\]

Извлекая квадратный корень, получаем:
\[AN = \sqrt{128}\]

\[AN = 8\sqrt{2}\]

Ответ: Длина отрезка AN в прямоугольном треугольнике ABC равна \(8\sqrt{2}\).