Каков радиус шара, вписанного в данную восьмиугольную пирамиду с апофемой равной 10 и площадью круга, вписанного

Звездочка

48

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства восьмиугольной пирамиды и вписанного в неё шара. Давайте разберемся с каждым из них пошагово.

Шаг 1: Свойства восьмиугольной пирамиды
Восьмиугольная пирамида имеет основание в форме восьмиугольника. В данной задаче основание пирамиды является кругом с площадью, равной 36π.

Площадь круга можно выразить через радиус \( r \) следующей формулой:
\[ S = \pi r^2 \]
Если известна площадь и требуется найти радиус, формулу можно переписать следующим образом:
\[ r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \]

Шаг 2: Свойства вписанного шара
У восьмиугольной пирамиды есть вписанный в неё шар. В этой задаче апофема восьмиугольной пирамиды равна 10. Апофема (вписанного шара) — это радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.

Шар с радиусом \( R \) вписан в пирамиду следующим образом: каждая сторона пирамиды является хордой окружности, вписанной в основание пирамиды, и проходит через центр шара. В этом случае апофема \( a \), радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, и радиус шара связаны следующим образом:
\[ a = R \]

Шаг 3: Решение задачи
У нас есть апофема пирамиды \( a = 10 \) и площадь круга в основании пирамиды \( S = 36\pi \). Мы хотим найти радиус вписанного шара \( R \).

Из шага 1 мы узнали, как найти радиус \( r \) круга по его площади:
\[ r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \]

Но нам нужно найти радиус шара \( R \). Из шага 2 мы знаем, что апофема \( a \) и радиус шара \( R \) связаны следующим образом:
\[ a = R \]

Следовательно, чтобы найти радиус шара \( R \), мы можем использовать радиус круга \( r \):
\[ R = r \]

Теперь давайте подставим известные значения в формулу:
\[ r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{36\pi}{\pi}} = \sqrt{36} = 6 \]

Таким образом, радиус шара, вписанного в данную восьмиугольную пирамиду, равен 6.