Каков радиус вписанного в конус шара, если угол между образующей конуса и его высотой составляет 45°, а расстояние

Lina

69

Данная задача требует вычислить радиус \(r\) шара, вписанного в конус. Для решения задачи, нам понадобятся рассматривать треугольники, образованные между центром шара, вершиной конуса и точкой касания шара с его основанием.

Для начала, давайте обозначим высоту конуса как \(h\), а длину радиус-вектора от вершины конуса до центра шара как \(d\). Как указано в задаче, угол между образующей конуса и его высотой составляет 45°. Таким образом, мы имеем дело с прямоугольным треугольником.

Поскольку \(d\) является радиус-вектором от вершины конуса до центра шара, он также является высотой прямоугольного треугольника. Зная, что прямоугольный треугольник имеет углы 45° и 90°, мы можем применить тригонометрический тангенс, чтобы связать \(h\) и \(d\).

Тангенс угла 45° равен отношению противоположной стороны (в нашем случае, \(d\)) к прилежащей стороне (в нашем случае, \(h\)):

\[
\tan(45°) = \frac{d}{h}
\]

Так как тангенс 45° равен 1, мы можем записать:

\[
1 = \frac{d}{h}
\]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно \(d\):

\[
d = h
\]

Таким образом, мы получаем, что длина радиус-вектора \(d\) равна высоте конуса \(h\). Но по определению, радиус шара \(r\) также является радиус-вектором от центра шара до его поверхности, то есть:

\[
r = d = h
\]

Поэтому радиус вписанного в конус шара равен высоте конуса.