Каков радиус вписанной окружности, если даны размеры сторон трапеции abcd, вписанной в окружность? Рассматривается

Звездный_Снайпер

46

Чтобы найти радиус вписанной окружности в трапецию, нам понадобится использовать свойство: основание перпендикулярно касательной окружности. Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Начнем с построения фигуры. Нам дана трапеция abcd, где cd = 9 см и bd = 12 см. Обозначим центр вписанной окружности как O и радиус окружности как r.

(Ваше изображение трапеции)

2. Заметим, что AD - это диаметр окружности, так как он проходит через центр O. Поэтому AD = 2r.

Теперь нам нужно найти AD. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABD:

AB² + BD² = AD²

Подставляем значения BD = 12 см и AD = 2r:

AB² + 12² = (2r)²

AB² + 144 = 4r²

3. Рассмотрим теперь треугольник BCD. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла BCD с отрезком BC как E. Согласно свойству вписанного угла, угол CBD равен половине угла BCD, и угол CBE равен половине углу CBD.

(Ваше изображение с биссектрисой трапеции)

4. Треугольник BCE - прямоугольный и равнобедренный, так как CB = CE и CB - это радиус окружности. Обозначим длину CB (и CE) как x.

Мы можем применить теорему Пифагора в треугольнике BCE:

BE² + CE² = BC²

BE² + x² = x²

BE² = 0

Здесь мы видим, что BE = 0. Это означает, что точка E совпадает с точкой B, и биссектриса угла BCD является высотой треугольника BCD, проходящей через точку B.

(Ваше изображение с высотой)

5. Обозначим длину этой высоты как h.

Теперь, если мы рассмотрим прямоугольный треугольник ACD, то B и E являются его основаниями, а высота h является его высотой. Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его оснований и высоты:

1/2 * (AD + BE) * h = 1/2 * (2r + 0) * h = rh

6. С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов, деленному на 2:

1/2 * CD * BD = 1/2 * 9 * 12 = 54

7. Мы пришли к равенству площадей двух треугольников:

rh = 54

rh = 54

8. Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти радиус r:

r = \(\frac{54}{h}\)

Здесь h - это высота треугольника BCD, которую мы еще не нашли.

9. Обратимся снова к треугольнику BCE и рассмотрим прямоугольный треугольник BCE. Мы знаем, что угол BCE равен 180° - угол ECB.

(Ваше изображение с углами)

Но угол BCD равен сумме углов CBE и BCE. Поскольку угол CBE равен половине угла CBD, мы можем записать следующее:

180° - угол BCD = угол CBD = 2 * угол CBE

180° - угол BCD = 2 * (180° - угол ECB)

Сократим:

180° - угол BCD = 360° - 2 * угол ECB

угол ECB = \(\frac{180° - угол BCD}{2}\)

10. Угол BCD - это угол между основанием трапеции и ее биссектрисой. Основание трапеции равно 9 см (cd), а биссектриса пересекает основание под прямым углом. Таким образом, угол BCD - это противолежащий угол треугольника BCD. Из суммы углов треугольника равной 180°, мы можем записать:

угол BCD + угол CBD + угол CDB = 180°

угол BCD + 90° + угол CDB = 180°

сократим:

угол BCD + угол CDB = 90°

Заметим, что угол CDB равен 90° - угол ECB:

угол BCD + (90° - угол ECB) = 90°

угол BCD - угол ECB = 0°

угол ECB = угол BCD

Таким образом, мы обнаружили, что угол ECB равен углу BCD.

11. Теперь мы знаем, что угол ECB равен углу BCD, поэтому мы можем записать:

угол ECB = \(\frac{180° - угол BCD}{2}\) = \(\frac{180° - угол ECB}{2}\)

Переставим обратно:

2 * угол ECB = 180° - угол ECB

3 * угол ECB = 180°

угол ECB = \(\frac{180°}{3}\)

угол ECB = 60°

12. Треугольник BCE является равносторонним, так как все его углы равны 60°. Значит, все его стороны тоже равны.

BE = CE = CB = x

Но мы также знаем, что CB - это радиус окружности. Обозначим его как r:

r = x

13. Теперь у нас есть равносторонний треугольник BCE, и мы можем найти его высоту h, используя формулу для высоты равностороннего треугольника:

h = \(\frac{\sqrt{3}}{2} * x\)

14. Подставляем значение x = r в формулу для h:

h = \(\frac{\sqrt{3}}{2} * r\)

15. Теперь мы можем использовать это значение h в уравнении rh = 54 для нашего радиуса:

r * \(\frac{\sqrt{3}}{2} * r\) = 54

\(\frac{\sqrt{3}}{2} * r^2\) = 54

r^2 = \(\frac{54}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

16. Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти значение r:

r = \(\sqrt{\frac{54}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)

r = \(\sqrt{\frac{54 * 2}{\sqrt{3}}}\)

r = \(\sqrt{\frac{108}{\sqrt{3}}}\)

r = \(\sqrt{\frac{108}{\sqrt{3}}} * \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{3}}}\)

r = \(\frac{\sqrt{108 * \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{3}}}\)

r = \(\frac{\sqrt{108 * \sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}\)

17. Раскроем квадратный корень и упростим:

r = \(\frac{\sqrt{36 * 3 * \sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}\)

r = \(\frac{6 * \sqrt{3 \sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}\)

r = \(\frac{6 * \sqrt[4]{27} * \sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}\)

r = \(\frac{6 * 3 * \sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}\)

r = \(\frac{18 * \sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}\)

Таким образом, радиус вписанной окружности в трапецию с данными сторонами равен \(\frac{18 * \sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt[4]{3}}\) см.