Каков радиус вписанной окружности треугольника ABC, если известно, что BC = 9 и AC

Огонек

19

Хорошо, чтобы найти радиус вписанной окружности треугольника ABC, нам понадобится использовать некоторые свойства треугольника и знания о вписанной окружности.

1. Пусть D - это точка касания вписанной окружности треугольника ABC с стороной AB. Тогда, поскольку отрезок AD является радиусом окружности, мы можем обозначить его буквой r.

2. Заметим, что если провести отрезок AD, он будет перпендикулярным к стороне AB. Поэтому, AB будет служить высотой треугольника, опущенной из вершины A.

3. Поскольку BC = 9 и AC = ?, нам необходимо найти длину отрезка AC.

4. Мы можем использовать свойство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух сторон треугольника больше, чем длина третьей стороны. Применяя это свойство к треугольнику ABC, мы можем записать неравенство: AC + BC > AB.

5. Теперь, зная, что AB является высотой треугольника, опущенной из вершины A на сторону BC, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника, чтобы связать длину стороны AB с высотой и основанием:

Площадь треугольника ABC = \(\frac{1}{2} \cdot\) AB \(\cdot\) BC

Площадь треугольника ABC = \(\frac{1}{2} \cdot\) AC \(\cdot\) AD

Заметим, что площадь треугольника одна и та же, поэтому мы можем приравнять эти два выражения:

\(\frac{1}{2} \cdot\) AB \(\cdot\) BC = \(\frac{1}{2} \cdot\) AC \(\cdot\) AD

6. Подставляем известные значения: BC = 9 и AB = AD = r, получаем:

\(\frac{1}{2} \cdot\) r \(\cdot\) 9 = \(\frac{1}{2} \cdot\) AC \(\cdot\) r

4.5r = \(\frac{1}{2} \cdot\) AC \(\cdot\) r

Теперь r сокращается в обоих частях уравнения.

7. Мы получаем уравнение: 4.5 = \(\frac{1}{2} \cdot\) AC

8. Теперь остается только найти значение AC, разделив 4.5 на 0.5:

AC = 4.5 / 0.5

AC = 9

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 9, если BC = 9 и AC = 9.