Каков радиус вписанной окружности в четырёхугольнике MNKL с центром T, если сумма длин противоположных сторон

Skolzyaschiy_Tigr

43

Чтобы найти радиус вписанной окружности в четырехугольнике MNKL, мы можем использовать следующую формулу, основанную на свойстве вписанных углов:

\[r = \sqrt{\frac{(s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c) \cdot (s-d)}{s}}\]

Где:
\(r\) - радиус вписанной окружности,
\(s\) - полупериметр четырехугольника, который рассчитывается так: \(s=\frac{a+b+c+d}{2}\),
\(a, b, c, d\) - длины сторон четырехугольника.

Из условия задачи уже даны значения площади и суммы длин противоположных сторон. Нам также нужно найти длину каждой стороны четырехугольника.

Мы можем представить себе четырехугольник MNKL, исходя из данных, и присвоить переменным \(a, b, c, d\) соответствующие значения длин сторон. По условию задачи, сумма длин противоположных сторон составляет 273 мм, поэтому получим следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
a + c &= 273 \\
b + d &= 273
\end{align*}
\]

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод замены или метод сложения. Рассмотрим подход с методом сложения:

\[
\begin{align*}
a + c &= 273 \quad (1) \\
b + d &= 273 \quad (2)
\end{align*}
\]

Мы можем выразить \(c\) и \(d\) через \(a\) и \(b\) следующим образом:

\[
\begin{align*}
c &= 273 - a \quad (3) \\
d &= 273 - b \quad (4)
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть выражения для \(c\) и \(d\) через \(a\) и \(b\). Мы также знаем, что формула для полупериметра равна \(s=\frac{a+b+c+d}{2}\). Подставляя значения \(c\) и \(d\):

\[
s = \frac{a+b+(273-a)+(273-b)}{2} = \frac{546}{2} = 273
\]

Теперь мы можем вычислить радиус вписанной окружности, используя формулу:

\[
r = \sqrt{\frac{(s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c) \cdot (s-d)}{s}} = \sqrt{\frac{(273-a) \cdot (273-b) \cdot (a-273) \cdot (b-273)}{273}}
\]

Подставляя значения \(a=1\,\(мм\)\), \(b=2\,\(мм\)\), \(c=273-a=272\,\(мм\)\) и \(d=273-b=271\,\(мм\)\) в формулу, получаем:

\[
r = \sqrt{\frac{(273-1) \cdot (273-2) \cdot (1-273) \cdot (2-273)}{273}} = \sqrt{\frac{272 \cdot 271 \cdot (-272) \cdot (-271)}{273}}
\]

Теперь мы можем вычислить значение радиуса, выполнив необходимые вычисления:

\[
r = \sqrt{1987432} \approx 1409.42
\]

Итак, радиус вписанной окружности в четырехугольнике MNKL составляет около 1409.42 мм.