Каков результат вычисления основного неопределённого интеграла от dx/(x^2 + a^2)? Выберите один из вариантов ответа

Valentin

21

Хорошо! Для решения данной задачи, мы будем вычислять основной неопределенный интеграл:

\[
\int \frac{{dx}}{{x^2 + a^2}}
\]

Чтобы решить этот интеграл, воспользуемся методом подстановки. Давайте попробуем подставить \( u = \frac{{x}}{{a}} \), тогда \( du = \frac{{dx}}{{a}} \). Мы получим:

\[
\int \frac{{dx}}{{x^2 + a^2}} = \int \frac{{du}}{{a(au)^2 + a^2}} = \int \frac{{du}}{{a^2 u^2 + a^2}} = \int \frac{{du}}{{a^2(u^2 + 1)}}
\]

Теперь давайте решим этот новый интеграл. Для этого воспользуемся элементарной заменой переменных. Положим \( v = u^2 + 1 \), тогда \( dv = 2u \, du \). Это приведет нас к следующему:

\[
\int \frac{{du}}{{a^2(u^2 + 1)}} = \int \frac{{dv}}{{2a^2 u}} = \frac{1}{{2a^2}} \int \frac{{dv}}{{v}}
\]

А это уже очень простой интеграл относительно новой переменной \( v \):

\[
\frac{1}{{2a^2}} \int \frac{{dv}}{{v}} = \frac{1}{{2a^2}} \ln|v| + C
\]

Теперь подставим обратно \( v = u^2 + 1 \), получим:

\[
\frac{1}{{2a^2}} \ln|u^2 + 1| + C
\]

и наконец подставим обратно \( u = \frac{{x}}{{a}} \):

\[
\frac{1}{{2a^2}} \ln\left|\left(\frac{{x}}{{a}}\right)^2 + 1\right| + C
\]

Сократив результат, получим ответ:

\[ \frac{1}{{2a^2}} \ln|x^2 + a^2| + C \]

Таким образом, правильный вариант ответа - \(\frac{1}{{2a^2}} \ln|x^2 + a^2| + C\).