Каков результат вычисления выражения (72^2/3)^1/2*36^1/6: 2^4/3?

Sovunya

47

Добро пожаловать! Чтобы решить данную задачу, мы можем разбить ее на несколько шагов и вычислений.

Шаг 1: Вычислим значение выражения в скобках (72^2/3)^1/2. Для этого нам нужно сначала вычислить степень 2/3 для числа 72. Для этого возведем 72 в степень 2 и затем извлечем из результата кубический корень:

\[72^{2/3} = \sqrt[3]{72^2} = \sqrt[3]{5184} = 18\]

Теперь мы можем взять квадратный корень из 18:

\[\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

Шаг 2: Теперь мы вычислим значение второго числа, 36^1/6. Подобно предыдущему шагу, сначала возведем 36 в степень 1/6:

\[36^{1/6} = \sqrt[6]{36}\]

Чтобы найти кубический корень из 36, сначала найдем его квадратный корень:

\[\sqrt{36} = 6\]

Таким образом, кубический корень из 36 будет:

\[\sqrt[3]{36} = 6^{1/3}\]

Шаг 3: Наконец, мы можем вычислить итоговый результат умножения двух полученных значений:

\[3\sqrt{2} \cdot 6^{1/3}\]

Мы не можем просто перемножить их, потому что они имеют различные основания. Однако, мы можем преобразовать первый множитель:

\[3\sqrt{2} = 3 \cdot (2^{1/2}) = 3 \cdot (2^{1/2})^{2/3}\]

Чтобы перемножить базы, мы суммируем их показатели степени:

\[3 \cdot (2^{1/2})^{2/3} = 3 \cdot 2^{1/3} = 3\sqrt[3]{2}\]

Теперь у нас есть одинаковые основания, поэтому мы можем перемножить результаты:

\[3\sqrt[3]{2} \cdot 6^{1/3} = 3\sqrt[3]{2} \cdot 6^{1/3} = 3\cdot 6 \cdot \sqrt[3]{2}\]

Таким образом, результатом вычисления данного выражения будет:

\[3\cdot 6 \cdot \sqrt[3]{2} = 18\sqrt[3]{2}\]

Ответ: \(18\sqrt[3]{2}\) или 18 корень кубический из 2.