Каков результат выражения (-10ctg(27п/14)-4ctg(29п/14))/(2tg(10п/7)-5сtg(п/14))?

Стрекоза

61

Хорошо, давайте решим данное выражение по шагам.

Шаг 1: Вычислим значения функций тангенс и котангенс для данных углов.

Так как \( ctg \) является обратной функцией для \( tg \), можно заменить исходные тангенсы на котангенсы:

\[
\begin{align*}
tg\left(\frac{27\pi}{14}\right) &= \frac{1}{tg\left(\frac{14\pi}{14}-\frac{7\pi}{14}\right)} = \frac{1}{tg\left(\pi-\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{tg\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{\infty} = 0 \\
tg\left(\frac{10\pi}{7}\right) &= \frac{1}{tg\left(\frac{7\pi}{7}-\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{1}{tg\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{1}{tg\left(\frac{6\pi}{7}\right)} = \frac{1}{-tg\left(\frac{\pi}{7}\right)} = -ctg\left(\frac{\pi}{7}\right) \\
ctg\left(\frac{\pi}{14}\right) &= \frac{1}{tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{14}\right)} = \frac{1}{tg\left(\frac{13\pi}{28}\right)} = \frac{1}{-tg\left(\frac{15\pi}{28}-\pi\right)}\\
& = \frac{1}{-tg\left(\frac{\pi}{28}\right)} = -ctg\left(\frac{\pi}{28}\right) \\
ctg\left(\frac{\pi}{7}\right) &= \frac{1}{tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{1}{tg\left(\frac{5\pi}{14}\right)} = \frac{1}{tg\left(\frac{7\pi}{14}-\frac{2\pi}{14}\right)}\\
& = \frac{1}{tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{14}\right)} = \frac{1}{tg\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{1} = 1\\
ctg\left(\frac{\pi}{28}\right) &= \frac{1}{tg\left(\frac{7\pi}{28}-\pi\right)} = \frac{1}{-tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)} = -\frac{1}{-1} = 1
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть значения всех функций:

\[
tg\left(\frac{27\pi}{14}\right)=0, \quad tg\left(\frac{10\pi}{7}\right)=-ctg\left(\frac{\pi}{7}\right), \quad ctg\left(\frac{\pi}{14}\right)=-ctg\left(\frac{\pi}{28}\right)=-1, \quad ctg\left(\frac{\pi}{7}\right)=1, \quad ctg\left(\frac{\pi}{28}\right)=1
\]

Шаг 2: Подставим значения в исходное выражение:

\[
\begin{align*}
\frac{-10ctg\left(\frac{27\pi}{14}\right)-4ctg\left(\frac{29\pi}{14}\right)}{2tg\left(\frac{10\pi}{7}\right)-5ctg\left(\frac{\pi}{14}\right)} &= \frac{-10\cdot0-4\cdot1}{2\cdot(-ctg\left(\frac{\pi}{7}\right))-5\cdot(-1)} \\
&= \frac{0-4}{-2\cdot1+5} = \frac{-4}{3}
\end{align*}
\]

Ответ: Результат выражения равен \(-\frac{4}{3}\).