Найдите объем правильной треугольной призмы с основанием длиной 400 см, при условии что боковая грань образует угол

Ruslan

9

Чтобы найти объем правильной треугольной призмы с основанием длиной 400 см и углом между боковой гранью и плоскостью основания, равным 60 градусов, мы можем использовать следующие шаги.

1. Для начала, найдем площадь основания призмы. Поскольку основание представляет собой правильный треугольник, площадь основания можно найти по формуле:
\[Площадь\,основания = \frac{{сторона^2 \times \sqrt{3}}}{4},\]
где сторона - длина стороны треугольника. В данном случае длина стороны треугольника равна 400 см.

\[Площадь\,основания = \frac{{400^2 \times \sqrt{3}}}{4} = \frac{{160000 \times \sqrt{3}}}{4} = \frac{{80000 \times \sqrt{3}}}{2} = 40000\sqrt{3}\,см^2.\]

2. Теперь, чтобы найти объем призмы, умножим площадь основания на высоту призмы. В нашем случае необходимо найти высоту призмы.

3. Поскольку боковая грань образует угол 60 градусов с плоскостью основания, внутри призмы образуется правильный треугольник с высотой, равной высоте призмы. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника.

4. Вспомним, что у правильного треугольника длина высоты равна половине длины стороны, умноженной на коэффициент \(\sqrt{3}\). То есть,
\[Высота\,треугольника = \frac{{сторона \times \sqrt{3}}}{2},\]
где сторона - длина стороны треугольника. В нашем случае длина стороны треугольника равна 400 см. Подставляя значения, получаем,
\[Высота\,треугольника = \frac{{400 \times \sqrt{3}}}{2} = 200\sqrt{3}\,см.\]

5. Так как высота призмы равна высоте треугольника, объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту призмы:
\[Объем\,призмы = Площадь\,основания \times Высота\,призмы = 40000\sqrt{3} \times 200\sqrt{3} = 8000000\,см^3.\]

Итак, объем правильной треугольной призмы с основанием длиной 400 см и углом между боковой гранью и плоскостью основания, равным 60 градусов, составляет 8000000 кубических сантиметров.