Каков результат выражения i^5+i^2+i^3 в тригонометрической форме?

Grey

24

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание некоторых основ тригонометрии и правил работы с комплексными числами.

Сначала давайте определим, что такое комплексные числа. Комплексные числа - это числа вида \(a + bi\), где \(a\) и \(b\) - это действительные числа, а \(i\) является мнимой единицей, определенной как \(\sqrt{-1}\).

Итак, у нас есть выражение \(i^5 + i^2 + i^3\), которое мы хотим записать в тригонометрической форме.

Давайте начнем с вычисления каждого из слагаемых по отдельности:
1. \(i^5\): Мы знаем, что \(i^2 = -1\) и \(i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i\). Таким образом, можно представить \(i^5\) как \(i^5 = i \cdot i^4 = i \cdot (i^2)^2 = i \cdot (-1)^2 = i \cdot 1 = i\).
2. \(i^2\): Уже известно, что \(i^2 = -1\).
3. \(i^3\): Мы выше уже определили, что \(i^3 = -i\).

Теперь мы можем переписать исходное выражение: \(i^5 + i^2 + i^3 = i + (-1) + (-i) = -1\).

Теперь давайте перейдем к записи этого числа в тригонометрической форме. В тригонометрической форме комплексное число записывается в виде \(re^{i\theta}\), где \(r\) - это модуль числа, а \(\theta\) - это аргумент числа.

В нашем случае, число -1 является действительным числом, таким образом, аргумент равен 0, а модуль равен 1. То есть, \(-1 = 1e^{i0}\).

Таким образом, результат выражения \(i^5 + i^2 + i^3\) в тригонометрической форме равен \(1e^{i0}\).

Я надеюсь, что этот ответ был для вас понятен и полезен. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!