Каков ряд распределения и функция распределения случайной величины Х, представляющей количество перегоревших ламп

Zvezdnaya_Tayna

1

Хорошо, давайте рассмотрим задачу о количестве перегоревших ламп в шестиламповом радиоприемнике.

Для начала, мы можем определить вероятность того, что каждая из ламп перегорит или не перегорит. Предположим, что вероятность перегорания любой лампы одинакова и равна \( p \), а вероятность того, что она не перегорит, равна \( 1-p \).

Теперь мы можем определить случайную величину \( X \), представляющую количество перегоревших ламп в радиоприемнике. Возможные значения \( X \) будут от 0 до 6, так как ламп может перегореть от 0 до всех 6.

Для определения ряда распределения и функции распределения случайной величины \( X \), мы можем рассмотреть все возможные комбинации перегоревших ламп и вычислить вероятность каждой из них.

Распределение вероятностей (ряд распределения) будет выглядеть следующим образом:
\( P(X=k) \)

\[
\begin{align*}
P(X=0) &= (1-p)^6 \\
P(X=1) &= 6p(1-p)^5 \\
P(X=2) &= 15p^2(1-p)^4 \\
P(X=3) &= 20p^3(1-p)^3 \\
P(X=4) &= 15p^4(1-p)^2 \\
P(X=5) &= 6p^5(1-p) \\
P(X=6) &= p^6 \\
\end{align*}
\]

Теперь давайте рассмотрим функцию распределения случайной величины \( X \), которая определена как сумма вероятностей значений \( X \) до данного значения \( k \). Функция распределения будет выглядеть следующим образом:
\( F(k) = P(X \leq k) \)

\[
\begin{align*}
F(0) &= P(X=0) \\
F(1) &= P(X=0) + P(X=1) \\
F(2) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\
F(3) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \\
F(4) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \\
F(5) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \\
F(6) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) \\
\end{align*}
\]

Числовые характеристики, присущие этой случайной величине \( X \), могут включать математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Давайте определим их:
- Математическое ожидание (среднее значение) определяется как сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности:
\( E(X) = \sum \limits_{k=0}^{6} k \cdot P(X=k) \)
- Дисперсия определяется как сумма произведений квадратов отклонений от среднего на соответствующие вероятности:
\( Var(X) = \sum \limits_{k=0}^{6} (k-E(X))^2 \cdot P(X=k) \)
- Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии:
\( \sigma(X) = \sqrt{Var(X)} \)

С помощью этих формул вы можете вычислить числовые характеристики для данной случайной величины.