Каков угловой коэффициент касательной линии графика функции y=5/6x^3-3x^2+x-2 в точке с абсциссой x=-2?

Добрый_Ангел

55

Хорошо, давайте решим задачу! Чтобы найти угловой коэффициент касательной линии к графику функции в заданной точке, нам понадобится сначала найти производную функции. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке.

Для начала найдем производную функции y = \frac{5}{6}x^3 - 3x^2 + x - 2. Для этого возьмем производные каждого слагаемого по отдельности.

Производная от слагаемого \frac{5}{6}x^3 равна \frac{d}{dx}\left(\frac{5}{6}x^3\right) = \frac{15}{6}x^2.

Производная от слагаемого -3x^2 равна \frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x.

Производная от слагаемого x равна \frac{d}{dx}(x) = 1.

Производная от слагаемого -2 равна \frac{d}{dx}(-2) = 0.

Сложим все производные слагаемых для получения производной функции целиком:
y" = \frac{15}{6}x^2 - 6x + 1.

Теперь нам нужно найти значение производной в заданной точке x = -2. Подставим x = -2 в уравнение производной:
y" = \frac{15}{6}(-2)^2 - 6(-2) + 1.

Вычислив это выражение, получим:
y" = \frac{15}{6} \cdot 4 + 12 + 1 = 10 + 12 + 1 = 23.

Таким образом, угловой коэффициент касательной линии графика функции y = \frac{5}{6}x^3 - 3x^2 + x - 2 в точке с абсциссой x = -2 равен 23.