Каков угол между боковой гранью и основанием в правильной шестиугольной пирамиде с апофемой, равной стороне основания?

Dobryy_Ubiyca

32

Для решения этой задачи нам необходимо разобраться в свойствах правильных многогранников и в особенностях шестиугольной пирамиды. Позвольте мне подробно объяснить каждый шаг.

Правильная шестиугольная пирамида имеет шесть равносторонних треугольных граней и основание, которое также является шестиугольником. Углы между боковыми гранями и основанием в этой пирамиде необходимо найти.

Для начала, давайте определимся с апофемой. Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания, прямо относительно основания. В данной задаче у нас также сказано, что апофема равна стороне основания. Обозначим длину стороны основания как \(a\) и апофему как \(r\).

Изобразим плоскость пирамиды и проведем высоту пирамиды, которая будет перпендикулярна основанию. Отсюда можно увидеть, что апофема пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его прямые стороны - это половина основания и высота пирамиды.

Треугольник, образованный апофемой пирамиды и половиной основания, является прямоугольным треугольником, так как высота пирамиды перпендикулярна основанию. Зная гипотенузу и одну катет, мы можем найти все углы этого треугольника.

Учитывая, что апофема равна стороне основания \(a\), а половина основания \(\frac{a}{2}\), мы можем применить тригонометрический соотношение для нахождения угла:
\[\tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\frac{a}{2}}{r}\]

Теперь, чтобы найти угол между боковой гранью и основанием пирамиды, нам нужно рассмотреть одну из боковых граней. Рассмотрим треугольник, образованный стороной основания \(a\), апофемой \(r\) и боковой гранью пирамиды. Снова применим теорему тригонометрии:
\[\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\frac{r}{2}}{a}\]

Таким образом, угол \(\alpha\) между боковой гранью и основанием пирамиды можно найти, используя арктангенс этого отношения:
\[\alpha = \arctan\left(\frac{\frac{r}{2}}{a}\right)\]

Теперь у нас есть выражение для угла между боковой гранью и основанием пирамиды в терминах длины стороны основания \(a\) и апофемы \(r\). Вы можете использовать эту формулу для решения задачи, подставляя конкретные значения \(a\) и \(r\).