Каков угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной четырёхугольной пирамиды, если её высота составляет

Timur

57

Для решения этой задачи, нам потребуется знание геометрии правильных четырёхугольных пирамид.

Давайте представим данную пирамиду в виде треугольника, где высота является одной из сторон треугольника, а основание пирамиды - это треугольник, грани которого являются боковыми гранями пирамиды.

Таким образом, угол между боковой гранью и плоскостью основания совпадает с углом между основанием пирамиды и её высотой.

Обозначим сторону основания пирамиды как \(a\), а высоту как \(h\).

Имея значения стороны основания (\(a = 16\) см) и высоту (\(h = 8\) см), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения третьей стороны треугольника, образованного стороной основания и высотой.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катетами являются \(h\) и половина стороны основания (\(\frac{a}{2}\)), а гипотенузой - сторона боковой грани.

Из этого следует, что:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = \text{сторона боковой грани}^2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\left(\frac{16}{2}\right)^2 + 8^2 = \text{сторона боковой грани}^2\]

Упрощая выражение:

\[8^2 + 8^2 = \text{сторона боковой грани}^2\]

\[64 + 64 = \text{сторона боковой грани}^2\]

\[128 = \text{сторона боковой грани}^2\]

Извлекая квадратный корень, получаем:

\[\text{сторона боковой грани} = \sqrt{128}\]

Simplifying the expression further, we get:

\[\text{сторона боковой грани} = 8\sqrt{2}\]

Таким образом, сторона боковой грани равна \(8\sqrt{2}\) см.

Теперь мы можем вычислить угол между боковой гранью и плоскостью основания, используя правило тангенса:

\[\text{Тангенс угла} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\]

В нашем случае, противолежащий катет это сторона боковой грани (\(8\sqrt{2}\)) и прилежащий катет это высота (\(8\)). Подставляя значения:

\[\text{Тангенс угла} = \frac{8\sqrt{2}}{8}\]

Упрощая выражение:

\[\text{Тангенс угла} = \sqrt{2}\]

Теперь нам нужно найти обратный тангенс этого значения, чтобы получить значение угла:

\[\text{Угол} = \arctan(\sqrt{2})\]

Вычисляя значение, мы получаем:

\[\text{Угол} \approx 54,74^\circ\]

Таким образом, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен примерно \(54,74^\circ\).