Каков угол между диагоналями параллелограмма, если их длины составляют 8√3 см и 6 см, а меньшая сторона параллелограмма

Antonovna

58

Чтобы найти угол между диагоналями параллелограмма, мы можем использовать теорему косинусов. Давайте обозначим длины диагоналей как \(d_1\) и \(d_2\), а меньшую сторону параллелограмма как \(a\). В данном случае, \(d_1 = 8\sqrt{3}\) см, \(d_2 = 6\) см и \(a = \sqrt{21}\) см.

Теорема косинусов утверждает, что в треугольнике со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и углом \(\theta\) против стороны \(c\), справедливо следующее равенство:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\theta}\]

Применим данную теорему к нашей задаче. Обозначим угол между диагоналями как \(\alpha\), а стороны параллелограмма как \(d_1\) и \(d_2\). Заметим, что диагональ параллелограмма является диагональю треугольника, образованного сторонами параллелограмма, который мы можем рассмотреть.

Применяя теорему косинусов к нашему треугольнику, мы получим следующее:

\[d_1^2 = a^2 + d_2^2 - 2ad_2\cos{\alpha}\]

Раскроем скобки и заменим значения нашей задачи:

\[(8\sqrt{3})^2 = (\sqrt{21})^2 + 6^2 - 2(\sqrt{21})(6)\cos{\alpha}\]

\[192 = 21 + 36 - 12\sqrt{21}\cos{\alpha}\]

Перенесем все в одну сторону:

\[0 = 57 - 12\sqrt{21}\cos{\alpha}\]

Изменим порядок выражения:

\[12\sqrt{21}\cos{\alpha} = 57\]

Теперь мы можем выразить \(\cos{\alpha}\):

\[\cos{\alpha} = \frac{57}{12\sqrt{21}}\]

После подстановки числовых значений в калькулятор, найдем приближенное значение для \(\cos{\alpha}\):

\[\cos{\alpha} \approx 0.719\]

Теперь нам нужно найти угол \(\alpha\) в градусах, поэтому воспользуемся обратной функцией косинуса или арккосинусом. Обозначим наше искомое значение угла как \(\alpha\):

\[\alpha = \cos^{-1}{(0.719)}\]

После подстановки значения в калькулятор, мы получаем:

\[\alpha \approx 44.61^\circ\]

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма составляет приблизительно \(44.61^\circ\).