Каков угол между диагональю куба и плоскостью его основания, если длина ребра куба составляет

Magicheskiy_Kot

45

Пусть \(ABCD\) — основание куба, \(AC\) — его диагональ. Нам нужно найти угол между вектором \(AC\) (лежащим в плоскости основания) и плоскостью основания куба.

Для начала рассмотрим треугольник \(ABC\). Он равнобедренный, так как рёбра куба равны. Следовательно, угол между стороной \(AB\) и диагональю \(AC\) равен \(45^\circ\) (так как это угол основания равнобедренного треугольника).

Теперь рассмотрим плоскость основания \(ABCD\) куба. Как мы знаем, плоскость задаётся нормальным вектором. Нормальный вектор к плоскости есть вектор, перпендикулярный плоскости. Вектор \(AB\) лежит в плоскости основания, следовательно, вектор, перпендикулярный плоскости, будет лежать в пространстве и иметь направление, отличное от основания. Для простоты, будет использовать вектор \(AD\) в качестве нормального вектора (вектор, перпендикулярный основанию и плоскости).

Итак, у нас есть два вектора: \(AC\) и \(AD\). Чтобы найти угол между ними, можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AD}}}{{|\mathbf{AC}| \cdot |\mathbf{AD}|}}\]

где \(\theta\) — искомый угол, \(\mathbf{AC}\) и \(\mathbf{AD}\) — векторы, \(|\mathbf{AC}|\) и \(|\mathbf{AD}|\) — их длины.

Небольшое пояснение: если в результате вычислений получится угол больше \(90^\circ\), это будет означать, что угол между векторами \(AC\) и \(AD\) больше \(90^\circ\), и, следовательно, угол между диагональю куба и плоскостью его основания будет составлять \((180 - \theta)\) градусов.

Теперь подставим значения в формулу скалярного произведения:

\[|\mathbf{AC}| = \sqrt{AB^2 + BC^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]
\[|\mathbf{AD}| = \sqrt{AB^2 + BC^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]

Так как векторы \(\mathbf{AC}\) и \(\mathbf{AD}\) равной длины, скалярное произведение запишется следующим образом:

\[\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AD} = |\mathbf{AC}| \cdot |\mathbf{AD}| \cdot \cos(\theta) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\theta) = 3 \cos(\theta)\]

Подставим все в формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AD}}}{{|\mathbf{AC}| \cdot |\mathbf{AD}|}} = \frac{{3 \cos(\theta)}}{{3}} = \cos(\theta)\]

Таким образом, угол между диагональю куба и плоскостью его основания равен \(45^\circ\).