Каков угол между плоскостью основания правильной треугольной пирамиды и ее боковым ребром, если медиана основания равна

Yascherica

7

Давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Найдем длину бокового ребра пирамиды.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В треугольнике, образованном медианой основания, боковым ребром и половиной основания, у нас есть два катета - половина основания, равная \( \frac{3}{2} \), и половина бокового ребра пирамиды, которую обозначим через \( x \). Известно, что медиана треугольника равна половине бокового ребра, поэтому у нас есть следующее уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 + \frac{9}{4} = 1 \]
\[ x^2 = 1 - \frac{9}{4} \]
\[ x^2 = \frac{4}{4} - \frac{9}{4} \]
\[ x^2 = \frac{-5}{4} \]

Так как длина не может быть отрицательной, мы получаем, что длина бокового ребра равна \( x = \sqrt{\frac{-5}{4}} \).

Шаг 2: Найдем косинус угла между плоскостью основания и боковым ребром пирамиды.
Мы можем использовать косинусную формулу для треугольника, где у нас уже известны все стороны:
\[ \cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
где \( a \) и \( b \) - длины двух сторон, а \( c \) - длина оставшейся стороны.

Мы можем найти длины сторон по теореме Пифагора. Длина бокового ребра \( b \) мы уже нашли в первом шаге. Теперь найдем длину стороны основания \( a \). У нас это в правильной треугольной пирамиде, поэтому все стороны равны. Для определения длины а можно использовать формулу медианы в правильном треугольнике:

\[ m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \]
\[ 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \]
\[ a = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \]

Теперь, когда у нас есть значения для \( a \), \( b \) и \( c \), мы можем подставить их в формулу косинуса:

\[ \cos(\theta) = \frac{(2\sqrt{3})^2 + \left(\sqrt{\frac{-5}{4}}\right)^2 - 2^2}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}} \]

Рассчитаем выражение:

\[ \cos(\theta) = \frac{12 + \frac{5}{4} - 4}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}} \]
\[ \cos(\theta) = \frac{\frac{51}{4} - 4}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}} \]
\[ \cos(\theta) = \frac{\frac{35}{4}}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}} \]
\[ \cos(\theta) = \frac{35}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}} \]

Так как \( \cos(\theta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \), мы можем заметить, что значение в числителе - это \( \frac{35}{4} \), а значение в знаменателе - это \( 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}} \). Мы можем сократить значения на \( 2 \), что даст нам:

\[ \cos(\theta) = \frac{\frac{35}{4}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}} = \frac{35}{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}} \]

Шаг 3: Найдем сам угол \( \theta \).
Мы можем выразить \( \theta \) с помощью арккосинуса:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{35}{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}}\right) \]

Это значение представляет собой угол, указанный в радианах. Чтобы перевести его в градусы, мы можем умножить его на \( \frac{180}{\pi} \):

\[ \theta = \frac{180}{\pi} \cdot \arccos\left(\frac{35}{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}}\right) \]

Так что угол между плоскостью основания и боковым ребром пирамиды составляет \( \theta = \frac{180}{\pi} \cdot \arccos\left(\frac{35}{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{-5}{4}}}\right) \) градусов.