Каков угол между прямой pn1 и плоскостью mnn1 в кубе mnptmnpt1?

Bulka

46

Для решения данной задачи, давайте представим себе куб mnptmnpt1 и визуализируем его геометрически.

У нас есть прямая pn1, проходящая через вершины куба. И есть плоскость mnn1, которая также проходит через некоторые вершины куба. Задача состоит в определении угла между этой прямой и плоскостью.

Для начала, давайте определим, какие конкретные точки задействованы в нашей задаче. Возьмем вершину m как начало прямой pn1, а также два других угловых точки куба mn и np. Затем возьмем точку n1 на плоскости mnn1, которая также будет лежать на прямой pn1. Теперь у нас есть все необходимые точки для решения задачи.

Прежде чем продолжить, давайте введем некоторые обозначения. Обозначим вектором \(\overrightarrow{A}\) вектор от точки m до точки n, и вектором \(\overrightarrow{B}\) вектор от точки n до n1.

Теперь, чтобы найти угол между прямой pn1 и плоскостью mnn1, мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов. Скалярное произведение векторов определяется следующим образом: \(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A}| \cdot |\overrightarrow{B}| \cdot \cos(\theta)\), где \(|\overrightarrow{A}|\) и \(|\overrightarrow{B}|\) - длины векторов, \(\theta\) - угол между ними.

В нашем случае, если мы найдем значение скалярного произведения \(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}\) и затем разделим его на произведение длин векторов, мы сможем найти значение \(\cos(\theta)\). Так как мы знаем, что \(0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ\), мы сможем использовать арккосинус, чтобы найти точное значение угла \(\theta\).

Поэтому, пользуясь этой информацией, давайте рассчитаем значения векторов \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\):

\(\overrightarrow{A} = \overrightarrow{Mn} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}\)
\(\overrightarrow{B} = \overrightarrow{N1} - \overrightarrow{N}\)

Теперь, найдем значения координат для точек M, N, N1:
M(0, 0, 0)
N(1, 1, 0)
N1(1, 1, 1)

\(\overrightarrow{A} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)\)
\(\overrightarrow{B} = (1-1, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)\)

Теперь вычислим длины векторов \(|\overrightarrow{A}|\) и \(|\overrightarrow{B}|\):
\(|\overrightarrow{A}| = \sqrt{(1^2 + 1^2 + 0^2)} = \sqrt{2}\)
\(|\overrightarrow{B}| = \sqrt{(0^2 + 0^2 + 1^2)} = 1\)

Теперь найдем скалярное произведение векторов:
\(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (1 \cdot 0) + (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 0\)

Теперь мы можем найти значение \(\cos(\theta)\):
\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}| \cdot |\overrightarrow{B}|} = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot 1} = 0\)

Используя обратную функцию арккосинуса для нахождения угла \(\theta\), получим:
\(\theta = \arccos(0) = 90^\circ\)

Итак, угол между прямой pn1 и плоскостью mnn1 в кубе mnptmnpt1 равен 90 градусов или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как определить угол между прямой pn1 и плоскостью mnn1 в данной задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!