Чему равна длина медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого катеты составляют 14 см

Скворец

45

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину прямого угла (точка C) с серединой гипотенузы (точка M).

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Математически, это можно записать следующим образом:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

В данной задаче катеты равны 14 см, поэтому можем записать:

\[AC^2 = 14^2 + 14^2\]

\[AC^2 = 196 + 196\]

\[AC^2 = 392\]

Чтобы найти длину медианы, мы должны найти длину отрезка AM. Заметим, что треугольник AMC является прямоугольным, так как AM - медиана и вектор CA перпендикулярен вектору AM. Поэтому мы можем применить теорему Пифагора к этому треугольнику:

\[AM^2 = MC^2 + AC^2\]

Так как AC это гипотенуза прямоугольного треугольника AMC, а MC - катет, равный половине гипотенузы, можем записать:

\[AM^2 = \frac{AC^2}{4} + AC^2\]

Подставляем полученное значение для AC^2:

\[AM^2 = \frac{392}{4} + 392\]

\[AM^2 = 98 + 392\]

\[AM^2 = 490\]

Длина медианы AM равна квадратному корню из 490:

\[AM = \sqrt{490} \approx 22.14 \, \text{см}\]

Таким образом, длина медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 14 см, составляет примерно 22.14 см.