Каков угол В в треугольнике АВС с вершинами А(1;5;3), В(3;3;2) и С(3;6;5)?

Примула

3

Для того чтобы найти угол В в треугольнике АВС, нам понадобится знание о векторах, а именно их скалярном произведении. Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, \(\theta\) - угол между ними.

Для начала, нам нужно определить векторы \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{BC}\). Для этого мы вычитаем из координат вершин А и С координаты вершины В:

\[
\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (3; 3; 2) - (1; 5; 3) = (2; -2; -1)
\]
\[
\mathbf{BC} = \mathbf{C} - \mathbf{B} = (3; 6; 5) - (3; 3; 2) = (0; 3; 3)
\]

Теперь нам нужно найти значение скалярного произведения этих векторов. Для этого мы используем следующую формулу:

\[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = |\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{BC}| \cdot \cos(\theta)
\]

где \( |\mathbf{AB}| \) и \( |\mathbf{BC}| \) - это длины векторов \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{BC}\). Для вычисления длины вектора, мы используем формулу:

\[
|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
\]

где \(v_x\), \(v_y\) и \(v_z\) - это координаты вектора v.

Теперь рассчитаем значения:

\[
|\mathbf{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3
\]
\[
|\mathbf{BC}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\]

Теперь, зная значения длин векторов, мы можем найти скалярное произведение \(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC}\):

\[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(\theta)
\]

Так как мы ищем угол В, то \(\theta\) - это искомый угол. Разделим обе стороны уравнения на произведение длин векторов, чтобы выразить косинус угла:

\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC}}{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{BC}|} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{2}}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = 1
\]

Таким образом, получаем \(\cos(\theta) = 1\). Выражая угол \(\theta\) из обратного косинуса:

\[
\theta = \arccos(1) = 0 \, \text{радиан} \approx 0^\circ
\]

Таким образом, угол В в треугольнике АВС равен 0 градусов или 0 радиан. Угол В является прямым углом.