Найдите косинус угла между плоскостью MA D и плоскостью CA D в кубе ABCDA B C D с равными сторонами 1, если точка

Zolotoy_Monet

10

Чтобы найти косинус угла между двумя плоскостями, нам нужно знать их нормали. Найдем нормали для плоскостей MA"D и CA"D.

Нормаль для плоскости MA"D: Мы знаем, что точка M является серединой грани куба ABCDA"B"C"D". Это означает, что вектор, идущий из центра куба в точку M, будет нормалью к плоскости MA"D. Поскольку стороны куба имеют длину 1, этот вектор будет иметь длину sqrt(2)/2 (так как это половина стороны куба). Давайте обозначим этот вектор как \(\mathbf{n_1}\).

Нормаль для плоскости CA"D: Чтобы найти нормаль для этой плоскости, нам понадобятся точка C и точка, лежащая на плоскости CA"D. Мы знаем, что плоскость CA"D проходит через вершины куба C, A и D. Так как все стороны куба имеют длину 1, то вектор, проходящий через точки C и A будет нормалью к плоскости CA"D. Давайте обозначим этот вектор как \(\mathbf{n_2}\).

Теперь, чтобы найти косинус угла между этими плоскостями, мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos\theta = \frac{{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}}{{\left\lVert \mathbf{n_1} \right\rVert \cdot \left\lVert \mathbf{n_2} \right\rVert}}
\]

где \(\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}\) - скалярное произведение двух векторов, \(\left\lVert \mathbf{n_1} \right\rVert\) - длина вектора \(\mathbf{n_1}\), а \(\left\lVert \mathbf{n_2} \right\rVert\) - длина вектора \(\mathbf{n_2}\).

Теперь давайте найдем значения этих векторов и вычислим косинус угла между плоскостями MA"D и CA"D.

\(\mathbf{n_1} = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\mathbf{i} + \frac{{\sqrt{2}}}{2}\mathbf{j} + 0\mathbf{k}\)

\(\mathbf{n_2} = -\mathbf{i} + \mathbf{j} + 0\mathbf{k}\)

\(\left\lVert \mathbf{n_1} \right\rVert = \sqrt{\left(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\right)^2 + \left(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\right)^2 + 0^2} = 1\)

\(\left\lVert \mathbf{n_2} \right\rVert = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\)

\(\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = \left(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\right) \cdot (-1) + \left(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\right) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\)

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

\[
\cos\theta = \frac{{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}}{{\left\lVert \mathbf{n_1} \right\rVert \cdot \left\lVert \mathbf{n_2} \right\rVert}} = \frac{0}{1 \cdot \sqrt{2}} = 0
\]

Таким образом, косинус угла между плоскостью MA"D и плоскостью CA"D равен 0.