Каков закон распределения, математическое ожидание и дисперсия случайной величины х, где х - квадрат числа очков

Беленькая

54

Для начала, давайте разберемся с законом распределения случайной величины \(x\), где \(x\) - квадрат числа очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Для этого, воспользуемся знаниями о вероятностной теории.

Подбрасывание игральной кости является примером эксперимента с конечным числом исходов. В данном случае, число очков может быть от 1 до 6, так как на игральной кости 6 граней.

Теперь рассмотрим случайную величину \(x\), представляющую собой квадрат числа очков. Так как число очков на кости является дискретной случайной величиной, то и \(x\) также будет дискретной случайной величиной, принимающей возможные значения: 1, 4, 9, 16, 25 и 36, соответственно.

Закон распределения случайной величины \(x\) описывает вероятности различных значений, которые она может принимать. В данном случае, так как у нас всего 6 возможных значений, распределение будет равномерным, то есть каждое значение будет иметь одинаковую вероятность.

Теперь давайте рассчитаем математическое ожидание этой случайной величины. Математическое ожидание \(E(x)\) вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности.

Для нашего случая, математическое ожидание будет равно:
\[E(x) = (1 \cdot \frac{1}{6}) + (4 \cdot \frac{1}{6}) + (9 \cdot \frac{1}{6}) + (16 \cdot \frac{1}{6}) + (25 \cdot \frac{1}{6}) + (36 \cdot \frac{1}{6})\]

После вычислений получим:
\[E(x) = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}\]

Теперь рассчитаем дисперсию случайной величины \(x\). Дисперсия \(D(x)\) определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для нашего случая, дисперсия будет равна:
\[D(x) = E[(x - E(x))^2]\]

Раскроем скобки:
\[D(x) = \frac{1}{6}[(1 - \frac{91}{6})^2 + (4 - \frac{91}{6})^2 + (9 - \frac{91}{6})^2 + (16 - \frac{91}{6})^2 + (25 - \frac{91}{6})^2 + (36 - \frac{91}{6})^2]\]

Выполним вычисления и получим:
\[D(x) = \frac{1}{6}(\frac{25}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{25}{36} + \frac{16}{36}) = \frac{105}{36}\]

Теперь, давайте отобразим распределение случайной величины \(x\) на графике. Мы знаем, что вероятности всех значений равны \(\frac{1}{6}\), поэтому на графике мы будем иметь столбики высотой \(\frac{1}{6}\) для каждого значения случайной величины \(x\).