Каков заряд металлического шара диаметром 4 см, который находится в достаточно большом сосуде, наполненном керосином?

Mishka

57

Для решения этой задачи, нам понадобятся следующие понятия из электростатики: уравнение Кулона, определяющее взаимодействие между двумя точечными зарядами, а также формулы для вычисления напряжённости и потенциала электрического поля на заданном расстоянии от заряда.

1. Рассчитаем заряд металлического шара. Для этого воспользуемся формулой для объема шара и плотностью материала, из которого он сделан. Нам также известен диаметр шара, поэтому мы можем выразить его радиус:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

\[r = \frac{4 \ \text{см}}{2} = 2 \ \text{см} = 0.02 \ \text{м}\]

2. Теперь мы можем рассчитать объем шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi (0.02 \ \text{м})^3 \approx 3.35 \times 10^{-5} \ \text{м}^3\]

3. Объем также можно выразить через плотность (распространенное обозначение - \(\rho\)) и массу (распространенное обозначение - \(m\)):

\[V = \frac{m}{\rho}\]

Теперь мы можем выразить массу:

\[m = V \cdot \rho = (3.35 \times 10^{-5} \ \text{м}^3) \cdot \rho\]

Если у нас нет данных о плотности материала шара, нельзя точно вычислить его заряд, но мы можем предположить, что шар изготовлен из металла средней плотности, такой как алюминий. Плотность алюминия составляет около 2.7 г/см³.

\[m = (3.35 \times 10^{-5} \ \text{м}^3) \cdot (2.7 \times 10^6 \ \text{кг/м}^3) \approx 0.09045 \ \text{кг}\]

4. Теперь мы можем найти заряд шара, зная, что на каждый килограмм массы приходится 1 кулон заряда:

\[q = m \cdot 1 \ \text{Кл} = 0.09045 \ \text{кг} \cdot 1 \ \text{Кл} \approx 0.09045 \ \text{Кл}\]

Таким образом, заряд металлического шара составляет примерно 0.09045 Кл.

5. Рассчитаем напряжённость электрического поля \(E\) в точках, находящихся на расстоянии 1 см и 3 см от шара. Для этого воспользуемся формулой:

\[E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\]

где \(q\) - заряд шара, \(r\) - расстояние до точки, а \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная (\(\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ \text{Кл}^{-2}\ \text{м}^{-3}\)).

6. На расстоянии 1 см от шара (\(r = 0.01 \ \text{м}\)):

\[E_1 = \frac{1}{4\pi(8.85 \times 10^{-12} \ \text{Кл}^{-2} \ \text{м}^{-3})}\frac{0.09045 \ \text{Кл}}{(0.01 \ \text{м})^2}\]

\[E_1 \approx 2.042 \times 10^7 \ \text{В/м}\]

Таким образом, напряжённость электрического поля на расстоянии 1 см от шара составляет примерно \(2.042 \times 10^7 \ \text{В/м}\) в направлении от шара.

7. На расстоянии 3 см от шара (\(r = 0.03 \ \text{м}\)):

\[E_2 = \frac{1}{4\pi(8.85 \times 10^{-12} \ \text{Кл}^{-2} \ \text{м}^{-3})}\frac{0.09045 \ \text{Кл}}{(0.03 \ \text{м})^2}\]

\[E_2 \approx 2.27 \times 10^6 \ \text{В/м}\]

Таким образом, напряжённость электрического поля на расстоянии 3 см от шара составляет примерно \(2.27 \times 10^6 \ \text{В/м}\) в направлении от шара.

8. Наконец, рассчитаем потенциал электрического поля \(V\) в точках, находящихся на расстоянии 1 см и 3 см от шара. Формула для вычисления потенциала:

\[V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}\]

9. На расстоянии 1 см от шара (\(r = 0.01 \ \text{м}\)):

\[V_1 = \frac{1}{4\pi(8.85 \times 10^{-12} \ \text{Кл}^{-2} \ \text{м}^{-3})}\frac{0.09045 \ \text{Кл}}{(0.01 \ \text{м})}\]

\[V_1 \approx 2.772 \times 10^8 \ \text{В}\]

Таким образом, потенциал электрического поля на расстоянии 1 см от шара составляет примерно \(2.772 \times 10^8 \ \text{В}\).

10. На расстоянии 3 см от шара (\(r = 0.03 \ \text{м}\)):

\[V_2 = \frac{1}{4\pi(8.85 \times 10^{-12} \ \text{Кл}^{-2} \ \text{м}^{-3})}\frac{0.09045 \ \text{Кл}}{(0.03 \ \text{м})}\]

\[V_2 \approx 9.241 \times 10^7 \ \text{В}\]

Таким образом, потенциал электрического поля на расстоянии 3 см от шара составляет примерно \(9.241 \times 10^7 \ \text{В}\).

Это ответ на вашу задачу о заряде металлического шара и напряжённости и потенциале электрического поля на заданном расстоянии от шара.