Какова амплитуда гармонических колебаний математического маятника длиной 180 см, если его скорость при данном смещении

Magnitnyy_Marsianin

15

Чтобы найти амплитуду гармонических колебаний математического маятника, нужно воспользоваться формулой для кинетической энергии маятника.

Первым шагом, рассмотрим связь между скоростью маятника и его амплитудой. Математический маятник описывается уравнением гармонического колебания:

\[x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

где:
x(t) - смещение маятника в момент времени t,
A - амплитуда колебаний,
\(\omega\) - угловая скорость маятника,
\(\phi\) - начальная фаза маятника.

Скорость маятника можно определить, выполним производную по времени x(t):

\[v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

Из условия задачи известно, что скорость маятника при смещении составляет 35 см/с. Подставим это значение в уравнение скорости и найдем угловую скорость маятника:

\[35 \text{ см/с} = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

Так как скорость изменяется с течением времени, она может быть положительной или отрицательной. Мы можем выбрать любой знак для угловой скорости, но чтобы обеспечить колебательное движение маятника, мы выберем отрицательную угловую скорость (\(\omega < 0\)).

Таким образом, уравнение скорости станет:

\[35 \text{ см/с} = -A \cdot |\omega| \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

Заметим, что амплитуда колебаний A всегда положительна, поэтому мы можем избавиться от абсолютного значения угловой скорости:

\[35 \text{ см/с} = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

Теперь мы можем сопоставить коэффициенты в уравнении скорости с исходными данными:

\[35 \text{ см/с} = -A \cdot \omega\]

Задача состоит в том, чтобы найти амплитуду A, поэтому мы можем выразить ее из этого уравнения:

\[A = -\frac{35 \text{ см/с}}{\omega}\]

Длина математического маятника составляет 180 см. Связь между длиной и угловой скоростью маятника задается следующим образом:

\[\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\]

где g - ускорение свободного падения (9.8 м/с²), L - длина маятника. Подставим известные значения:

\[\omega = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с²}}{1.8 \text{ м}}} \approx 3.103 \text{ рад/с}\]

Теперь мы можем найти амплитуду A:

\[A = -\frac{35 \text{ см/с}}{3.103 \text{ рад/с}} \approx -11.27 \text{ см}\]

Ответ: амплитуда гармонических колебаний математического маятника составляет приблизительно 11.27 см.