Какова амплитуда колебаний груза А пружинного маятника массой 0,1 кг, который находится в положении равновесия

Marina

6

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся формулы, связанные с пружинным маятником.

Первой формулой, которую мы будем использовать, является формула закона Гука, которая связывает силу, действующую на пружину, и её удлинение:

\[F = -kx\]

где \(F\) - сила, \(k\) - коэффициент жёсткости пружины, \(x\) - удлинение пружины относительно положения равновесия.

Также нам понадобится знание о том, что сумма энергии потенциальной и кинетической энергии маятника остается постоянной.

Это можно записать следующим образом:

\[E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = \text{const}\]

Наши задания - найти амплитуду колебаний пружинного маятника. Для этого нужно использовать два факта:

1. При прохождении маятником положения равновесия, его кинетическая энергия достигает максимума, а потенциальная энергия - минимума.
2. В крайних точках колебаний (в амплитуде) потенциальная энергия достигает максимума, а кинетическая энергия - минимума.

Теперь перейдем непосредственно к решению задачи.

Из условия задачи у нас уже есть значение скорости маятника \(v = 0.3\) м/с. Будем считать, что это значение скорости достигается в положении равновесия, где пружина не имеет удлинения и её потенциальная энергия минимальна.

Согласно второму факту, в крайних точках колебаний у маятника скорость будет равна нулю, а значит его кинетическая энергия достигнет минимума.

Используя формулу закона сохранения энергии, мы можем записать:

\[E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = E\]

где \(E\) - полная энергия маятника, которая остается постоянной.

В положении равновесия кинетическая энергия максимальна, поэтому потенциальная энергия в этой точке будет минимальна. Поэтому \(E_{\text{пот}} = 0\).

Тогда получаем:

\[0 + E_{\text{кин}} = E\]

Так как \(E_{\text{кин}}\) достигает минимального значения в крайних точках колебаний (амплитуде), амплитуда колебаний будет характеризоваться самым малым значением кинетической энергии.
Мы можем записать это следующим образом:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(m\) - масса груза маятника, \(v\) - скорость маятника в крайней точке колебаний.

Подставим известные значения в формулу:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot (0.3)^2\]

\[E_{\text{кин}} = 0.0045\]

Так как энергия \(E = E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}}\) остается постоянной, мы можем записать следующее:

\[E = 0 + 0.0045\]

\[E = 0.0045\]

Теперь, чтобы выразить амплитуду колебаний груза, нам нужно знать только потенциальную энергию у груза в крайней точке колебаний. Согласно первому факту, в крайних точках потенциальная энергия будет максимальна.

Потенциальная энергия пружинного маятника в крайней точке колебаний может быть вычислена следующей формулой:

\[E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} kA^2\]

где \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(A\) - амплитуда колебаний.

Используя закон сохранения энергии и известное значение полной энергии, мы можем записать:

\[E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = E\]

\[\frac{1}{2} kA^2 + 0.0045 = 0.0045\]

\[\frac{1}{2} kA^2 = 0\]

Так как \(E_{\text{пот}}\) не может быть отрицательной, амплитуда колебаний \(A\) должна быть равна нулю.

Таким образом, ответ на задачу будет следующим: амплитуда колебаний груза пружинного маятника равна нулю. Это говорит о том, что маятник приходит в положение равновесия без каких-либо колебаний.