Какова амплитуда колебаний груза массой 50 г, который движется на пружине с жесткостью 300 Н/м, если положение

Valera

41

Для решения данной задачи мы можем использовать закон Гука, который описывает связь между силой, действующей на упругое тело, и его деформацией. Формула данного закона выглядит следующим образом:

\[F = kx\]

где \(F\) - сила, действующая на тело, \(k\) - коэффициент жесткости (в данном случае он равен 300 Н/м), \(x\) - смещение от положения равновесия.

Силу можно выразить через массу тела и ускорение, используя второй закон Ньютона:

\[F = m \cdot a\]

где \(m\) - масса тела (в данном случае она равна 50 г, что составляет 0.05 кг), \(a\) - ускорение тела.

Считая, что груз движется до максимального отклонения и имеет максимальное ускорение \(a\), можно записать:

\[m \cdot a = k \cdot x_{\text{макс}}\]

Также, известно, что положение равновесия проходится со скоростью 4 м/с. Учитывая, что в точке максимального отклонения скорость груза равна нулю, мы можем записать закон сохранения механической энергии:

\[\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k x_{\text{макс}}^2\]

где \(v\) - скорость груза в положении равновесия (4 м/с).

Из этих уравнений можно выразить максимальное отклонение \(x_{\text{макс}}\), которое является амплитудой колебаний груза.

Давайте посчитаем:

Из первого уравнения можно выразить ускорение \(a\):

\[a = \frac{k \cdot x_{\text{макс}}}{m}\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[m \cdot \left(\frac{k \cdot x_{\text{макс}}}{m}\right) = k \cdot x_{\text{макс}}\]

\[x_{\text{макс}} = \frac{m \cdot v^2}{k}\]

Подставим известные значения:

\[x_{\text{макс}} = \frac{0.05 \, \text{кг} \cdot (4 \, \text{м/с})^2}{300 \, \text{Н/м}}\]

Выполняем вычисления:

\[x_{\text{макс}} = \frac{0.05 \, \text{кг} \cdot 16 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{300 \, \text{Н/м}}\]

\[x_{\text{макс}} = \frac{0.8 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{300 \, \text{Н/м}}\]

\[x_{\text{макс}} \approx \frac{8 \times 10^{-1} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{3 \times 10^2 \, \text{Н/м}}\]

Получаем окончательный результат:

\[x_{\text{макс}} \approx 0.0027 \, \text{м} \quad (\text{или} \, 2.7 \, \text{мм})\]

Таким образом, амплитуда колебаний груза составляет около 0.0027 метра или 2.7 миллиметра.