Какова амплитуда колебаний металлического стержня, закрепленного на горизонтальной оси с длиной l = 0,2 м? Масса

Вихрь

10

Для решения данной задачи, нам понадобятся следующие формулы:
1. Формула для амплитуды вынужденных колебаний:
\[A = \frac{F_0}{m \cdot \sqrt{(\Omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\beta\Omega)^2}}\]
где \(A\) - амплитуда колебаний, \(F_0\) - максимальное значение силы, \(m\) - масса стержня, \(\Omega\) - циклическая частота, \(\Omega_0\) - собственная циклическая частота стержня, \(\beta\) - коэффициент затухания.

2. Формула для собственной циклической частоты стержня:
\[\Omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\]
где \(k\) - коэффициент упругости стержня.

Для начала найдем коэффициент упругости. Так как у нас металлический стержень, то мы можем воспользоваться формулой для упругой деформации пружин:
\[F = k \cdot \Delta l\]
где \(F\) - сила, \(k\) - коэффициент упругости, \(\Delta l\) - удлинение/укорочение стержня.

Мы знаем, что масса стержня составляет 0,4 кг, а длина стержня \(l = 0.2\) метра. Рассмотрим малый элемент длины стержня \(\Delta x\) и найдем его массу и удлинение:
\[\Delta m = \frac{m}{l} \cdot \Delta x\]
\[\Delta l = -A \cdot \sin(\Omega t)\]
где \(A\) - амплитуда колебаний, \(\Omega\) - циклическая частота, \(t\) - время.

Используя связь между удлинением и углом, амплитуду и фазовую скорость, получаем:
\[\Delta x = -A \cdot \sin(\Omega t) \cdot \frac{l}{L}\]
где \(L\) - длина натянутого стержня.

Теперь можем найти силу \(F_i\) для каждого элемента:
\[F_i = -k \cdot \Delta x = k \cdot A \cdot \sin(\Omega t) \cdot \frac{l}{L}\]
Так как суммарная сила равна нулю, то:
\[\sum F_i = \int_0^L F_i \, dx = 0\]
Проинтегрируем это выражение по всей длине стержня:
\[k \cdot A \cdot \frac{l}{L} \int_0^L \sin(\Omega t) \, dx = 0\]
\[-k \cdot A \cdot \frac{l}{L} \Omega t \Big|_0^L = 0\]
\[-k \cdot A \cdot \frac{l}{L} \Omega L t = 0\]
\[k \cdot A \cdot l \cdot \Omega t = 0\]
\[k = 0\]

Получаем, что \(k = 0\). Это означает, что стержень амортизированный, у него нет упругости. Следовательно, собственная циклическая частота стержня будет равна нулю:
\[\Omega_0 = 0\]

Теперь можем приступить к вычислению амплитуды колебаний по формуле:
\[A = \frac{F_0}{m \cdot \sqrt{(\Omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2\beta\Omega)^2}} = \frac{0.32}{0.4 \cdot \sqrt{(0 - 6^2)^2 + (2 \cdot 1.6 \cdot 6)^2}}\]
Рассчитаем значение формулы:
\[A = \frac{0.32}{0.4 \cdot \sqrt{36^2 + 19.2^2}} \approx 0.034 \, \text{м}\]

Таким образом, амплитуда колебаний металлического стержня составляет примерно 0.034 метра.