Какова апофема у правильной усеченной треугольной пирамиды, если площадь боковой поверхности равна 27, а стороны

Барсик

31

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Данная задача связана с геометрией и требует некоторых знаний о площадях и сечениях фигур.

Усеченная треугольная пирамида имеет два основания, которые являются правильными треугольниками. Для начала, давайте обозначим длину стороны основания \(a\) и длину стороны верхнего основания \(b\). В данной задаче нам уже известно, что длина стороны основания равна 3.

Для решения задачи нам понадобится формула для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности можно выразить следующей формулой:

\[S = \frac{p}{2} \cdot l\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(p\) - периметр основания и \(l\) - апофема, то есть расстояние от вершины до середины одной из боковых сторон пирамиды.

Для начала, давайте найдем периметр основания пирамиды. Так как основание является правильным треугольником, то периметр можно найти по формуле:

\[p = 3a\]

Теперь, подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности:

\[27 = \frac{3a}{2} \cdot l\]

Далее, у нас есть еще одно ограничение - длина стороны верхнего основания \(b\). Она связана с апофемой и стороной нижнего основания \(a\) следующим соотношением:

\[l^2 = a \cdot b\]

Так как известна длина стороны нижнего основания (3), мы можем выразить длину верхнего основания:

\[b = \frac{a \cdot l^2}{a^2}\]

Теперь, мы должны подставить это значение в первое уравнение:

\[27 = \frac{3a}{2} \cdot l\]

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными - \(a\) и \(l\). Давайте решим эту систему уравнений.

Подставим выражение для \(b\) в первое уравнение:

\[27 = \frac{3a}{2} \cdot l\]

\[27 = \frac{3a}{2} \cdot \sqrt{\frac{a \cdot l^2}{a^2}}\]

\[27 = \frac{3a}{2} \cdot \frac{l}{a} \cdot \sqrt{l}\]

\[27 = \frac{3}{2} \cdot l \cdot \sqrt{l}\]

Теперь, возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от извлечения квадратного корня:

\[(27)^2 = \left(\frac{3}{2} \cdot l \cdot \sqrt{l}\right)^2\]

\[729 = \frac{9}{4} \cdot l^3\]

Далее, выразим \(l\) из уравнения:

\[l^3 = \frac{729 \cdot 4}{9}\]

\[l^3 = 4 \cdot 81\]

\[l^3 = 324\]

\[l = \sqrt[3]{324}\]

\[l = 6\]

Теперь мы знаем, что значения \(a\) и \(l\) равны 3 и 6 соответственно. Осталось только вычислить апофему \(l\) с помощью формулы для площади боковой поверхности:

\[27 = \frac{3a}{2} \cdot l\]

\[27 = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot 6\]

\[27 = \frac{9}{2} \cdot 6\]

\[27 = 27\]

Таким образом, получаем, что апофема усеченной треугольной пирамиды равна 6.