Какова будет наименьшая площадь сечения прямоугольного параллелепипеда с размерами 1,2,3, если оно выполняется

Yaponec

47

Чтобы найти наименьшую площадь сечения прямоугольного параллелепипеда, который пересекается плоскостью, проходящей через его диагональ, давайте разберемся в задаче пошагово:

Шаг 1: Определение длины диагонали параллелепипеда.
Для начала определим длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, используя теорему Пифагора. Для этого сложим квадраты длин всех трех сторон и возьмем квадратный корень из полученной суммы.
Для нашего прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1, 2 и 3, имеем:

\[
\text{Длина диагонали} = \sqrt{{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \sqrt{{14}}.
\]

Шаг 2: Определение площадей сечений параллелепипеда.
Теперь рассмотрим различные возможные плоскости, проходящие через диагональ параллелепипеда, и найдем их площади сечений.

а) Плоскость, параллельная одной из граней параллелепипеда:
Если плоскость параллельна одной из граней параллелепипеда, то площадь сечения будет равна площади соответствующей грани. Для прямоугольного параллелепипеда с размерами 1, 2 и 3, площадь каждой грани равна:
Грань 1: 1 * 2 = 2,
Грань 2: 1 * 3 = 3,
Грань 3: 2 * 3 = 6.

б) Плоскость, параллельная одной из диагоналей параллелепипеда:
В этом случае площадь сечения будет равна нулю, так как плоскость будет проходить вдоль диагонали, и, следовательно, не обрежет параллелепипед ни по площади, ни по объему.

в) Плоскость, перпендикулярная одной из граней параллелепипеда:
Найдем площадь сечения с помощью формулы \(S = ab\), где а и b - это стороны параллелепипеда, перпендикулярные плоскости.
Для нашего параллелепипеда, площадь сечения будет равна:
Сечение 1: 1 * 2 = 2,
Сечение 2: 1 * 3 = 3,
Сечение 3: 2 * 3 = 6.

Шаг 3: Определение наименьшей площади сечения.
Для нашего прямоугольного параллелепипеда мы получили следующие площади сечений:
2, 3, 6, 0, 2, 3, 6.

Наименьшая площадь сечения равна 0. Это соответствует случаю, когда плоскость параллельна одной из диагоналей параллелепипеда и не обрезает его объем.

Таким образом, наименьшая площадь сечения прямоугольного параллелепипеда с размерами 1, 2, 3, когда плоскость проходит через его диагональ, равна 0.