Какова будет скорость космического аппарата массой 339 кг через 45,2 секунды после включения двигателя мощностью

Морской_Цветок

6

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы динамики и формулы для вычисления скорости.

1) Воспользуемся вторым законом Ньютона, который говорит, что сила \(F\) на тело равна произведению его массы \(m\) на ускорение \(a\) тела:
\[F = m \cdot a\]

2) Мощность \(P\) двигателя можно выразить через силу и скорость:
\[P = F \cdot v\]

3) Также нам дана мощность двигателя \(P = 381 \, \text{Н}\) и время работы двигателя \(t = 45,2 \, \text{с}\). Мощность можно выразить через силу и время:
\[P = \frac{W}{t}\]
где \(W\) - совершенная работа. Поскольку двигателем совершена работа, равная изменению кинетической энергии космического аппарата, можем записать:
\[W = \Delta E_k = \frac{1}{2} m \cdot (v^2 - u^2)\]
где \(u\) - начальная скорость (равна нулю, так как космический аппарат только включил двигатель), \(\Delta E_k\) - изменение кинетической энергии.

4) Используем формулу для мощности и это выражение для работы, чтобы выразить силу:
\[\frac{W}{t} = \frac{1}{2} m \cdot (v^2 - u^2)\]
\[\frac{W}{t} = \frac{1}{2} m \cdot v^2\]
\[F = \frac{W}{t} = \frac{1}{2} m \cdot v^2\]

5) Подставим это выражение для силы во второй закон Ньютона:
\[\frac{1}{2} m \cdot v^2 = m \cdot a\]
\[v^2 = 2 \cdot a\]
\[v = \sqrt{2 \cdot a}\]

6) Теперь нам нужно выразить ускорение. Введем дополнительные обозначения:
\(a\) - ускорение \((\text{м/с}^2)\)
\(m\) - масса \((\text{кг})\)
\(P\) - мощность \((\text{Н})\)
\(t\) - время \((\text{с})\)

Мощность можно выразить через силу и время, и воспользуемся этим фактом:
\[P = F \cdot v = m \cdot a \cdot v\]

Теперь, когда у нас есть выражение для мощности через силу и время работы (\(P = \frac{W}{t}\)), мы можем подставить его:
\[\frac{W}{t} = m \cdot a \cdot v\]
\(W = \frac{1}{2} m \cdot v^2\)
\[\frac{\frac{1}{2} m \cdot v^2}{t} = m \cdot a \cdot v\]

Далее, сократим массу \(m\) и переменную \(v\):
\[\frac{\frac{1}{2} v^2}{t} = a \cdot v\]
\[\frac{v}{t} = a\]

Теперь, когда у нас есть выражение для ускорения через скорость и время работы (\(a = \frac{v}{t}\)), мы можем подставить это в предыдущее выражение для скорости:
\[v = \sqrt{2 \cdot \frac{v}{t}}\]

Теперь можем решить уравнение и найти скорость космического аппарата через 45,2 секунды после включения двигателя:

\begin{align*}
v &= \sqrt{2 \cdot \frac{v}{t}} \\
v^2 &= 2 \cdot \frac{v}{t} \\
v^2 &= \frac{2 \cdot v}{45,2} \\
v &= \frac{2 \cdot v}{45,2} \\
1 &= \frac{2}{45,2} \\
v &= \frac{45,2}{2} \\
v &\approx 22,6 \, \text{м/с}
\end{align*}

Итак, скорость космического аппарата через 45,2 секунды после включения двигателя составляет примерно 22,6 м/с (метра в секунду).