1) Какую угловую скорость w нужно придать маятнику, чтобы длина нити увеличилась на 30%? 2) Под каким углом к вертикали

Ветерок

3

1) Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать закон сохранения энергии для механической системы маятника. При увеличении длины нити маятника на 30%, потенциальная энергия гравитационного поля, связанная с поднятием маятника, увеличится.

Давайте обозначим исходную длину нити маятника как \(L_0\) и угловую скорость перед длину нити равную \(w_0\). Увеличенная длина нити маятника будет равна \(L_0 + 0.3L_0 = 1.3L_0\).

До увеличения, сумма потенциальной энергии и кинетической энергии маятника равна:
\[E_0 = \frac{1}{2}I_0w_0^2 + mgh_0\],
где \(I_0\) - момент инерции маятника, \(m\) - его масса, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h_0\) - высота маятника относительно точки равновесия.

После увеличения длины нити маятника и изменения потенциальной энергии, сумма энергий становится:
\[E = \frac{1}{2}Iw^2 + mgh\],
где \(I\) - новый момент инерции, \(w\) - новая угловая скорость, \(h\) - новая высота маятника.

Согласно закону сохранения энергии, исходная энергия \(E_0\) должна быть равна новой энергии \(E\).

Таким образом, у нас есть:
\[\frac{1}{2}I_0w_0^2 + mgh_0 = \frac{1}{2}Iw^2 + mgh\].

Выразим новую высоту \(h\) с использованием измененной длины нити:
\[h = L_0 (1 - \cos(\theta))\],
где \(\theta\) - максимальный угол отклонения маятника.

Момент инерции для маятника длины \(L_0\) равен \(I_0 = \frac{1}{3}mL_0^2\). Зная это, можем переписать предыдущее уравнение:
\[\frac{1}{6}mL_0^2w_0^2 + mgL_0(1 - \cos(\theta_0)) = \frac{1}{6}m(1.3L_0)^2w^2 + mg(1.3L_0)(1 - \cos(\theta))\].

Теперь можем найти соотношение между углами \(\theta\) и \(\theta_0\):
\[\frac{1}{6}w_0^2 + g(1 - \cos(\theta_0)) = \frac{1}{6}(1.3)^2w^2 + g(1.3)(1 - \cos(\theta))\].

Для упрощения уравнения, обозначим \(x = \cos(\theta)\) и \(x_0 = \cos(\theta_0)\). Получим:
\[\frac{1}{6}w_0^2 + g(1 - x_0) = \frac{1}{6}(1.3)^2w^2 + g(1.3)(1 - x)\].

Мы знаем, что \(x_0 = \cos(\theta_0) = 1 - \frac{h_0}{L_0}\) и \(x = \cos(\theta) = 1 - \frac{h}{L_0}\).

Подставим это в уравнение:
\[\frac{1}{6}w_0^2 + g(1 - (1 - \frac{h_0}{L_0})) = \frac{1}{6}(1.3)^2w^2 + g(1.3)(1 - (1 - \frac{h}{L_0}))\].

Упростим:
\[\frac{1}{6}w_0^2 + \frac{gh_0}{L_0} = \frac{1}{6}(1.3)^2w^2 + \frac{g(1.3)h}{L_0}\].

Из этого уравнения можно выразить \(w\):
\[\frac{1}{6}(1.3)^2w^2 = \frac{1}{6}w_0^2 + \frac{g(h_0 - 1.3h)}{L_0}\].

Теперь найдем значение угловой скорости \(w\). Для этого решим полученное уравнение относительно \(w\).

2) Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Нам нужно найти угол, под которым резинка расположена относительно вертикали при заданной угловой скорости маятника w, найденной в первой части задачи. Мы можем использовать законы сохранения энергии и равновесия для решения этого вопроса.

Поскольку кинетическая энергия шарика в 1,5 раза больше потенциальной энергии деформации резинки, у нас есть:
\[1.5E_{\text{пот}} = E_{\text{кин}}\].

Так как \(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}Iw^2\), где \(I\) - момент инерции шарика, и \(E_{\text{пот}}\) равно потенциальной энергии деформации резинки, мы можем записать:
\[1.5 \times \text{потенциальная энергия деформации} = \frac{1}{2}Iw^2\].

Теперь обратимся к равновесию сил. Момент силы натяжения резинки и момент силы тяжести шарика должны быть равны друг другу, поскольку резинка получает угловую скорость w от шарика. Момент инерции шарика можно выразить как \(I = mR^2\), где \(m\) - масса шарика, \(R\) - радиус шарика.

Уравнение равновесия для моментов будет иметь вид:
\[mgR \sin(\phi) = kxR,\]
где \(mg\) - сила тяжести шарика, \(k\) - коэффициент жесткости резинки, \(x\) - деформация резинки, а \(\phi\) - угол, под которым резинка отклоняется от вертикали.

Теперь мы можем выразить деформацию резинки:
\[x = \frac{mg\sin(\phi)}{k}.\]

Подставим эту деформацию в выражение для потенциальной энергии деформации резинки:
\[\text{потенциальная энергия деформации} = \frac{1}{2} k x^2.\]

Теперь мы можем записать уравнение, используя известные значения:
\[1.5 \times \left(\frac{1}{2} k x^2\right) = \frac{1}{2} mR^2 w^2.\]

Мы можем сократить все константы и решить полученное уравнение относительно угла \(\phi\) для заданной угловой скорости \(w\).