Какова будет сумма периметров внешнего и внутреннего ромбов?

Плюшка

3

Хорошо! Для начала, давайте разберемся с определениями. Внешний ромб - это ромб, построенный на сторонах другого ромба, так что его углы касаются середин сторон внутреннего ромба. Внутренний ромб - это ромб, построенный на диагоналях внешнего ромба.

Чтобы найти сумму периметров внешнего и внутреннего ромбов, нам необходимо знать длины сторон и диагоналей ромбов. Давайте обозначим следующие величины:

Пусть сторона внешнего ромба равна \(a\), а сторона внутреннего ромба равна \(b\).
Пусть \(d_1\) обозначает длину первой диагонали внешнего ромба, а \(d_2\) - длину второй диагонали внешнего ромба.
Также пусть \(D_1\) обозначает длину первой диагонали внутреннего ромба, а \(D_2\) - длину второй диагонали внутреннего ромба.

Внешний ромб имеет периметр, равный сумме всех его сторон, то есть:

\[P_{\text{внеш. ромба}} = 4a\]

Аналогично, внутренний ромб имеет периметр, равный сумме всех его сторон:

\[P_{\text{внутр. ромба}} = 4b\]

Теперь, чтобы найти сумму периметров внешнего и внутреннего ромбов, нам нужно сложить значения периметров:

\[P_{\text{суммы}} = P_{\text{внеш. ромба}} + P_{\text{внутр. ромба}}\]
\[P_{\text{суммы}} = 4a + 4b\]

Однако, нам нужно выразить сумму периметров через величины, связанные с диагоналями ромбов. Вот где нам понадобятся ранее упомянутые диагонали.

По свойствам ромба, диагонали внешнего ромба являются диагоналями внутреннего ромба, а каждая диагональ внутреннего ромба является биссектрисой угла внешнего ромба.

Таким образом, мы можем выразить длины диагоналей внутреннего ромба через длины диагоналей внешнего ромба:

\[D_1 = \frac{1}{2}d_1\]
\[D_2 = \frac{1}{2}d_2\]

Теперь мы можем выразить сумму периметров через длины диагоналей:

\[P_{\text{суммы}} = 4a + 4b = 2(a+b)\]

Исходя из определений, мы можем заметить, что сторона внешнего ромба равна сумме длин диагоналей, то есть:

\[a = d_1 + d_2\]

Аналогично, сторона внутреннего ромба равна сумме длин диагоналей внешнего ромба:

\[b = D_1 + D_2\]

Теперь мы можем заменить значения \(a\) и \(b\) в формуле для суммы периметров:

\[P_{\text{суммы}} = 2[(d_1 + d_2) + (D_1 + D_2)]\]
\[P_{\text{суммы}} = 2(d_1 + d_2 + D_1 + D_2)\]

Таким образом, сумма периметров внешнего и внутреннего ромбов равна \(2(d_1 + d_2 + D_1 + D_2)\).

Этот ответ является детализированным и дает школьникам полное понимание того, как мы получили ответ, используя логику и свойства ромбов. Вы можете использовать этот ответ, чтобы объяснить школьникам решение задачи.