Какова цена каждой птицы, если они выражены целыми числами и три болтрушайки и один крикаду стоят столько же, сколько
Какова цена каждой птицы, если они выражены целыми числами и три болтрушайки и один крикаду стоят столько же, сколько и два диринара, и если одна болтрушайка, два крикаду и три диринара стоят вместе 25 монет?
Магический_Тролль_651 61
Пусть цена одной болтрушайки равна \(x\) монетам, а цена одного крикаду - \(y\) монетам. Также, пусть цена одного диринара равна \(z\) монетам.Из условия задачи мы знаем, что три болтрушайки и один крикаду стоят столько же, сколько и два диринара. Поэтому, можно записать уравнение:
\[3x + y = 2z\]
Также из условия задачи следует, что одна болтрушайка, два крикаду и три диринара стоят вместе 25 монет. Запишем еще одно уравнение:
\[x + 2y + 3z = 25\]
У нас есть система из двух линейных уравнений с тремя неизвестными - \(x\), \(y\) и \(z\). Решим эту систему уравнений.
Перейдем к пошаговому решению:
1. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем второе уравнение:
\[6x + 2y - (x + 2y + 3z) = 0\]
\[5x - 3z = 0\]
2. Разделим оба уравнения на 3:
\[\frac{5x - 3z}{3} = 0\]
\[x - \frac{3}{5}z = 0\]
3. Избавимся от \(x\) во втором уравнении:
\[x = \frac{3}{5}z\]
4. Подставим значение \(x\) в первое уравнение:
\[3\left(\frac{3}{5}z\right) + y = 2z\]
\[\frac{9}{5}z + y = 2z\]
5. Перенесем все слагаемые, содержащие \(z\), на одну сторону:
\[\frac{9}{5}z - 2z + y = 0\]
\[-\frac{1}{5}z + y = 0\]
6. Избавимся от \(z\) в шестом уравнении:
\[-\frac{1}{5}z = -y\]
\[z = 5y\]
7. Подставим значение \(z\) в выражение для \(x\):
\[x = \frac{3}{5}(5y)\]
\[x = 3y\]
Итак, мы получили следующую систему уравнений:
\[\begin{cases} x = 3y \\ z = 5y \end{cases}\]
Теперь подставим значения \(x\) и \(z\) во второе уравнение:
\[3y + 2y + 3(5y) = 25\]
\[3y + 2y + 15y = 25\]
\[20y = 25\]
Разделим обе части уравнения на 5:
\[4y = 5\]
Теперь найдем значение \(y\):
\[y = \frac{5}{4}\]
Подставим значение \(y\) обратно в \(x\) и \(z\):
\[x = 3\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{15}{4}\]
\[z = 5\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{25}{4}\]
Итак, получаем, что цена каждой болтрушайки равна \(\frac{15}{4}\) монеты, цена каждого крикаду равна \(\frac{5}{4}\) монеты, а цена каждого диринара равна \(\frac{25}{4}\) монеты.