Какова чувствительность данной системы, если длина пластин конденсатора l, расстояние между пластинами d, и расстояние

Янтарка

34

Для того чтобы определить чувствительность данной системы, нам понадобится знать формулу, которая описывает ее. В данном случае, чувствительность системы определяется как отношение изменения ее выходного значения к изменению входного значения.

В данной системе мы имеем конденсатор с пластинами, между которыми находится воздушный зазор. Расстояние между пластинами обозначено как d, а длина пластин - как l. Также нам известно, что расстояние от края конденсатора до экрана неизвестно.

Чувствительность данной системы можно выразить через производную емкости конденсатора по отношению к изменению параметров системы. Формула для емкости конденсатора выглядит следующим образом:

\[C = \frac{{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}}{d}\]

Где \(\varepsilon_0\) - диэлектрическая постоянная (8.85 x 10^-12 Ф/м), \(\varepsilon_r\) - относительная диэлектрическая проницаемость, A - площадь пластин конденсатора.

Чтобы вычислить чувствительность, мы должны найти производную емкости конденсатора C по отношению к параметрам системы (в данном случае, к l, d и расстоянию до экрана x):

\[\frac{{dC}}{{dx}} = \frac{{dC}}{{dl}}\frac{{dl}}{{dx}} + \frac{{dC}}{{dd}}\frac{{dd}}{{dx}} + \frac{{dC}}{{dx}}\]

Теперь давайте рассмотрим каждое из этих слагаемых по отдельности.

1. \(\frac{{dC}}{{dl}}\) - производная емкости по отношению к длине пластин конденсатора. Площадь пластин конденсатора A зависит от длины пластин l, поэтому:

\[\frac{{dA}}{{dl}} = A"\]

Здесь A" - производная площади пластин по отношению к длине пластин. Чтобы найти A", мы можем использовать известное соотношение между площадью и длиной пластин конденсатора для параллельных пластин:

\[A = l \cdot w\]

Где w - ширина пластин. Из этого соотношения мы можем найти A":

\[A" = \frac{{dA}}{{dl}} = w\]

Теперь мы можем вычислить производную емкости по отношению к длине пластин:

\[\frac{{dC}}{{dl}} = \frac{{d}}{{dl}}\left(\frac{{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}}{d}\right) = \frac{{\varepsilon_0 \varepsilon_r A"}}{d}\]

2. \(\frac{{dC}}{{dd}}\) - производная емкости по отношению к расстоянию между пластинами. В данном случае, площадь пластин A не зависит от этого параметра, поэтому:

\[\frac{{dA}}{{dd}} = 0\]

А значит, производная емкости по отношению к расстоянию между пластинами равна нулю:

\[\frac{{dC}}{{dd}} = 0\]

3. \(\frac{{dC}}{{dx}}\) - производная емкости по отношению к расстоянию от края конденсатора до экрана. В данном случае, емкость конденсатора не зависит от расстояния до экрана (при условии, что экран находится далеко и не влияет на поле конденсатора), поэтому:

\[\frac{{dC}}{{dx}} = 0\]

Теперь мы можем вычислить производную емкости по отношению к x:

\[\frac{{dC}}{{dx}} = 0\]

Теперь, собирая все вместе, мы можем выразить чувствительность данной системы:

\[\text{чувствительность} = \frac{{\frac{{\varepsilon_0 \varepsilon_r A"}}{d} \cdot \frac{{dl}}{{dx}}}}{\frac{{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}}{d}} = \frac{{A"}}{A}\]

Таким образом, чувствительность системы определяется отношением производной площади пластин по отношению к длине пластин к площади пластин. Обратите внимание, что мы пренебрегли влиянием расстояния между пластинами и расстояния до экрана на емкость конденсатора, так как они не оказывают влияния в данном случае.