Какова циркуляция магнитной индукции в квадратном контуре со стороной а, когда перпендикулярно плоскости контура

Путешественник_Во_Времени

25

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о законе Ампера и определении циркуляции магнитной индукции.

Закон Ампера гласит, что интеграл от магнитной индукции по замкнутому контуру равен произведению тока, пронизывающего поверхность, ограниченную данным контуром, на коэффициент пропорциональности, который называется магнитной постоянной.

Обозначим через \(B\) магнитную индукцию в точке на расстоянии \(а\) от центра контура. Если контур имеет форму квадрата со стороной \(а\), то его длина равна сумме всех сторон \(4a\). В этом случае, по закону Ампера, можно записать следующее уравнение:

\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{пр}}.\]

Здесь \(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(I_{\text{пр}}\) - полный пронизывающий контур ток.

Так как провод с током 2I проходит перпендикулярно плоскости контура на расстоянии \(а\) от его центра, то можно представить такой провод, как два параллельных электрических провода, каждый из которых проходит через точки \(a\) и \(-a\) на оси квадрата. Так как эти провода находятся на одинаковом расстоянии и имеют одинаковый ток 2I, их магнитные поля складываются.

Расстояние от центра квадрата до одного из его углов равно \(\frac{a}{\sqrt{2}}\). По формуле Био-Савара-Лапласа мы можем определить магнитное поле в центре квадрата, создаваемое проводом с током 2I:

\[B = \frac{{\mu_0 \cdot 2I}}{{4\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}}} = \frac{{\sqrt{2} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{2\pi a}}.\]

Теперь мы можем рассчитать циркуляцию магнитной индукции в квадратном контуре. Для этого необходимо вычислить интеграл от магнитной индукции по всем сторонам контура.

Поскольку контур является квадратом со стороной \(a\), его длина равна \(4a\). Проведя высоту внутри квадрата, мы можем разбить контур на две прямоугольные части. Длина горизонтальных сторон равна \(a\), а длина вертикальных сторон также равна \(a\).

Тогда циркуляция магнитной индукции будет равна:

\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = (B \cdot a) + (B \cdot a) + (B \cdot a) + (B \cdot a).\]

Подставляя значение \(B\) в данное уравнение, получаем:

\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{{\sqrt{2} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{2\pi a}} \cdot a + \frac{{\sqrt{2} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{2\pi a}} \cdot a + \frac{{\sqrt{2} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{2\pi a}} \cdot a + \frac{{\sqrt{2} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{2\pi a}} \cdot a.\]

Сокращая сомножители и складывая подобные слагаемые, получаем:

\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{{4 \cdot \sqrt{2} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{2\pi}}.\]

Таким образом, циркуляция магнитной индукции в данном квадратном контуре со стороной \(a\) равна \(\frac{{4 \cdot \sqrt{2} \cdot \mu_0 \cdot I}}{{2\pi}}\).