Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика, если его плотность в 1,25 раза меньше плотности материала шариков

Mark

20

Для решения этой задачи, нам нужно использовать ряд формул и заданных условий. Давайте проведем детальный анализ.

Пусть \(\epsilon_r\) - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, \(\rho_d\) - плотность диэлектрика и \(\rho_m\) - плотность материала шариков.

Из условия задачи известно, что плотность диэлектрика в 1,25 раза меньше плотности материала шариков, то есть \(\rho_d = \frac{4}{5}\rho_m\).

Также нам говорится, что угол отклонения нитей в воздухе и в диэлектрике остается неизменным при погружении шариков. Это означает, что соотношение между силой Архимеда и весом шариков остается постоянным при изменении среды.

Для начала, давайте рассмотрим силу Архимеда \(F_a\), действующую на шарики в воздухе и в жидкости.

В воздухе сила Архимеда определяется как:

\[F_a = \rho_m V g\]

где \(V\) - объем шарика, а \(g\) - ускорение свободного падения.

В жидкости, сила Архимеда определяется как:

\[F_a" = \rho_d V" g"\]

где \(V"\) - объем шарика в жидкости, а \(g"\) - ускорение свободного падения в жидкости.

Соотношение между этими силами будет равно:

\[\frac{F_a}{F_a"} = \frac{\rho_m V g}{\rho_d V" g"}\]

Поскольку угол отклонения нитей остается неизменным, силы натяжения нитей \(T\) в воздухе и в жидкости также сохраняются. Используя соотношение между силой натяжения нити и силой Архимеда, мы можем записать:

\[\frac{T}{F_a} = \frac{T}{\rho_m V g} = \frac{T}{F_a"} = \frac{T}{\rho_d V" g"}\]

Подставляя значения сил Архимеда и плотностей из условий задачи, получим:

\[\frac{T}{\rho_m V g} = \frac{T}{\frac{4}{5}\rho_m V" g"}\]

Отсюда можно сделать вывод, что \(\frac{V"}{V} = \frac{4}{5}\).

Теперь рассмотрим, что объем шариков в жидкости \(V"\) можно выразить через плотности и объемы шариков:

\[V" = \frac{\rho_m}{\rho_d} V\]

Подставляя значение \(\rho_d = \frac{4}{5}\rho_m\), получим:

\[V" = \frac{\rho_m}{\frac{4}{5}\rho_m} V = \frac{5}{4} V\]

Возвращаясь к условию задачи, приходим к выводу, что угол отклонения нитей в воздухе и в диэлектрике остается неизменным при погружении шариков. А это означает, что усилия, приложенные к шарикам нитями, также остаются неизменными при изменении среды.

Сила натяжения нити \(T\) можно выразить через плотность диэлектрика и объем шариков в жидкости:

\[T = \rho_d V" g"\]

\[T = \rho_d \cdot \frac{5}{4} V \cdot g"\]

Подставляя значение \(\rho_d = \frac{4}{5}\rho_m\) и \(\frac{V"}{V} = \frac{5}{4}\), получим:

\[T = \frac{4}{5}\rho_m \cdot \frac{5}{4} V \cdot g" = \rho_m V g"\]

Теперь используя полученное значение силы натяжения нити \(T\), мы можем записать условие для соотношения между силой Архимеда и силой натяжения нити:

\[\frac{F_a}{T} = \frac{\rho_m V g}{\rho_m V g"}\]

Очевидно, что \(V\) и \(g\) не зависят от среды, следовательно, \(\frac{F_a}{T}\) также должно оставаться постоянным при погружении шаров в диэлектрик.

Таким образом, мы приходим к выводу, что диэлектрическая проницаемость \(\epsilon_r\) диэлектрика равна 1, поскольку это удовлетворяет условию постоянства соотношения между силой Архимеда и силой натяжения нити.

Ответ: Диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 1.