Какова длина апофемы правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота составляет 24 см, а сторона основания равна

Skvoz_Holmy

63

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

Пусть сторона основания равна \(a\) сантиметров.

Так как пирамида является правильной, все ее боковые грани равнобедренные треугольники. Поэтому, если мы нарисуем высоту, она будет являться биссектрисой бокового треугольника.

По свойству биссектрисы в треугольнике, мы можем установить следующее соотношение: отношение длин сегментов биссектрисы, разделенных вершиной треугольника, равно отношению длин соответствующих сторон треугольника.

Так как треугольник является равнобедренным, это значит, что биссектриса делит основание на две равные части.

Поэтому, длина одной части основания будет равна \(\frac{a}{2}\) сантиметров.

Теперь, если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, состоящий из высоты, половины основания и апофемы, мы можем применить теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Так как гипотенуза этого треугольника - это апофема (обозн. \(a_p\)), катеты - это половина основания (обозн. \(\frac{a}{2}\)) и высота (обозн. \(h\)), у нас получается следующее соотношение:

\[a_p^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2\]

Подставим значения из задачи:

\[a_p^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 24^2\]

\[a_p^2 = \frac{a^2}{4} + 576\]

Чтобы найти значение апофемы, найдем квадратный корень от обоих частей уравнения:

\[a_p = \sqrt{\frac{a^2}{4} + 576}\]

Итак, длина апофемы правильной четырехугольной пирамиды равна \(\sqrt{\frac{a^2}{4} + 576}\) сантиметров.