Какова длина биссектрисы угла ∡A в равнобедренном треугольнике, если длина биссектрисы угла ∡C составляет

Сумасшедший_Рыцарь

53

Допустим, длина биссектрисы угла ∡A равна \(x\) см. Используя замечания, которые были описаны в задаче, мы можем составить следующее уравнение:

\[\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{EC}}\]

Так как треугольники ΔDAC и ΔECA равны, мы можем записать:

\[\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{EC}} = \frac{{AE}}{{DC}}\]

Теперь мы можем заменить значения, которые нам известны. Зная, что длина биссектрисы угла ∡C составляет 10 см, мы можем заменить \(\frac{{DE}}{{EC}}\) на \(\frac{{10}}{{x}}\). Также, зная условие треугольника, мы можем заменить \(\frac{{AE}}{{DC}}\) на \(\frac{{10}}{{x}}\).

Таким образом, наше уравнение примет вид:

\[\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{10}}{{x}} = \frac{{10}}{{x}}\]

Перекрестное умножение даёт нам:

\[AD \cdot x = AC \cdot 10\]

Теперь нам нужно обратиться к основанию равнобедренного треугольника. Так как треугольник равнобедренный, у нас есть равенство углов: ∡BAC = ∡BCA. Значит, у нас будет равенство сторон: AC = BC.

Подставляя это в наше уравнение, мы получаем:

\[AD \cdot x = BC \cdot 10\]

Однако, поскольку треугольник равнобедренный, то BC = AC. Таким образом, наше уравнение упрощается:

\[AD \cdot x = AC \cdot 10\]

Поскольку мы ищем длину биссектрисы угла ∡A, то нам нужно выразить \(x\) через известные нам величины. Мы замечаем, что BC и AC являются длинами стороны треугольника, а AD является высотой, опущенной на основание треугольника.

Таким образом, мы знаем, что площадь треугольника ΔABC можно выразить двумя разными способами. Одним из них является через основание и высоту:

\[S = \frac{{1}}{{2}} \cdot BC \cdot AD\]

Другим способом является формулой Герона, которая использует длины всех сторон треугольника:

\[S = \sqrt{{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)}}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника.

Так как у нас равнобедренный треугольник, мы можем записать следующее равенство:

\[AB = AC = BC\]

Подставляя значения в формулу Герона, мы получаем:

\[\frac{{1}}{{2}} \cdot BC \cdot AD = \sqrt{{\frac{{3 \cdot BC}}{{2}} \cdot \frac{{BC}}{{2}} \cdot \frac{{BC}}{{2}} \cdot \frac{{BC}}{{2}}}}\]

Упрощаем это уравнение:

\[BC \cdot AD = BC^3 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{4}}\]

Сокращаем BC с обеих сторон и получаем:

\[AD = BC^2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{4}}\]

Теперь мы можем заменить BC на AC и получить:

\[AD = AC^2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{4}}\]

Так как мы заметили ранее, что BC = AC, мы можем записать:

\[AD = AC^2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{4}}\]

Наконец, подставим 10 вместо AC в это уравнение:

\[AD = 10^2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{4}}\]

После упрощения мы получаем:

\[AD = 25 \cdot \sqrt{3}\]

Итак, длина биссектрисы угла ∡A в равнобедренном треугольнике составляет \(25 \cdot \sqrt{3}\) см.