Сколько возможных линий может получиться, если провести прямую через каждую пару из пяти заданных точек на плоскости?

Поющий_Хомяк

17

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Первым шагом нужно понять, как много всего комбинаций можно получить из пяти точек. Для этого воспользуемся формулой сочетаний. Формула сочетаний позволяет определить, сколько комбинаций можно получить из \(n\) элементов, выбирая \(k\) элементов каждый раз. В данном случае у нас есть 5 точек, поэтому \(n = 5\). Мы должны провести прямую через каждую пару точек, поэтому каждый раз выбираем 2 точки, то есть \(k = 2\).

2. Рассчитаем количество комбинаций по формуле:
\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]
где \(n!\) — факториал числа \(n\), который обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

Подставим значения:
\[
C(5, 2) = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2 \cdot 1 \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10
\]

3. Получили, что для заданных пяти точек существует 10 возможных комбинаций, через которые можно провести прямую.

Теперь рассмотрим все варианты комбинаций проведения прямых через пятую точку, начиная с каждой из четырех оставшихся точек.

- Вариант 1: Проведем прямую через первую и пятую точки. Получим одну линию.
- Вариант 2: Проведем прямую через вторую и пятую точки. Получим вторую линию.
- Вариант 3: Проведем прямую через третью и пятую точки. Получим третью линию.
- Вариант 4: Проведем прямую через четвертую и пятую точки. Получим четвертую линию.

Суммируем полученные варианты вместе: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Из этого видно, что для каждой из 10 комбинаций выбора двух точек из пятик точек, которые мы рассчитали ранее, получится по одной линии, когда прямая проходит через пятую точку.

Итак, ответ на задачу состоит в том, что есть 10 возможных линий, которые могут быть получены, если провести прямую через каждую пару из пяти заданных точек на плоскости.