Какова длина боковой стороны равнобедренного треугольника с площадью 9 и углом при основании 30°?

Sladkiy_Assasin

2

Чтобы найти длину боковой стороны равнобедренного треугольника, мы можем использовать несколько свойств этого треугольника и применить формулы. Давайте начнем с пояснений.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. В данном случае у нас есть угол при основании, равный 30°. Так как треугольник равнобедренный, то и другой угол при основании будет равен 30°.

Мы знаем, что площадь треугольника равна 9. По формуле для площади равнобедренного треугольника, мы можем записать:

\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота}\]

где основание - это одна из двух равных сторон треугольника, а высота - это расстояние от основания до вершины.

Давайте обозначим длину основания как \(b\) и высоту как \(h\). Так как у нас равнобедренный треугольник, то высота перпендикулярна к основанию и делит треугольник на две равные половины. Поэтому, чтобы найти высоту, нам достаточно знать лишь одну половину этой высоты.

Теперь, для того чтобы строить полноценный треугольник, нужна нам полная длина высоты. Мы можем записать соотношение:

\[h = 2 \times \text{высота одной половины}\]

Обозначим высоту одной половины как \(h_1\). Таким образом, полная длина высоты будет \(h = 2h_1\).

Теперь мы можем записать формулу для площади:

\[9 = \frac{1}{2} \times b \times h_1\]

Так как мы хотим найти длину боковой стороны, а у нас есть угол при основании равный 30°, мы можем использовать тригонометрические соотношения. Для нахождения длины боковой стороны нам подойдет соотношение:

\[b = \frac{2 \times \text{высота одной половины}}{\tan(\text{угол при основании})}\]

Подставим \(h_1 = \frac{h}{2}\) и угол при основании \(\theta = 30°\) в формулу:

\[b = \frac{2 \times \frac{h}{2}}{\tan(30°)}\]

Теперь мы можем найти значение длины боковой стороны, основываясь на предоставленных данных.

Можно упростить число под знаком тангенса 30°: \(\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Подставим это значение для дальнейших вычислений:

\[b = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \times h\]

Нам остается только найти значение \(h\), используя формулу для площади:

\[9 = \frac{1}{2} \times b \times h_1\]

Подставим \(b = \sqrt{3} \times h\) и решим уравнение относительно \(h\):

\[9 = \frac{1}{2} \times (\sqrt{3} \times h) \times \frac{h}{2}\]

\[\frac{9}{\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2}} = h \times h\]

\[18 \times \sqrt{3} = h \times h\]

\[h = \sqrt{18 \times \sqrt{3}}\]

Упростим это значение:

\[h = \sqrt{6 \times 3 \times \sqrt{3}} = \sqrt{18 \sqrt{3}} = \sqrt{9 \times 2 \sqrt{3}} = 3 \sqrt{2 \sqrt{3}}\]

Теперь, используя это значение \(h\), мы можем найти длину боковой стороны \(b\):

\[b = \sqrt{3} \times h = \sqrt{3} \times 3 \sqrt{2 \sqrt{3}} = 3 \sqrt{6 \sqrt{3}}\]

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника с площадью 9 и углом при основании 30° равна \(b = 3 \sqrt{6 \sqrt{3}}\).