Каково выражение вектора bo через векторы a в треугольнике abc, где точка m является серединой стороны ab, точка

Звездопад_На_Горизонте

52

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами серединных перпендикуляров треугольника.

Известно, что точка \(m\) является серединой стороны \(ab\), а точка \(n\) - серединой стороны \(ac\). Тогда отрезки \(cm\) и \(bn\) являются серединными перпендикулярами сторон треугольника \(abc\).

Согласно свойству серединных перпендикуляров, эти отрезки делятся пополам смежными сторонами треугольника. Из этого следует, что

\(\overrightarrow{cm} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ca}\)

\(\overrightarrow{bn} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ba}\)

Теперь давайте выразим вектор \(bo\) через векторы \(a\) и найденные выше выражения.

Заметим, что вектор \(bo\) можно представить как сумму векторов \(bn\) и \(no\):

\(\overrightarrow{bo} = \overrightarrow{bn} + \overrightarrow{no}\)

Для начала выразим вектор \(no\) через векторы \(a\).

Используя свойство параллелограмма, мы знаем, что линия, соединяющая середины двух сторон данного параллелограмма, равна векторной разности диагоналей этого параллелограмма. Таким образом,

\(\overrightarrow{no} = \overrightarrow{cm} - \overrightarrow{ca}\)

Подставим найденные выражения для векторов \(\overrightarrow{cm}\) и \(\overrightarrow{bn}\) в формулу для вектора \(\overrightarrow{bo}\):

\(\overrightarrow{bo} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ba} + \left(\overrightarrow{cm} - \overrightarrow{ca}\right)\)

Теперь раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

\(\overrightarrow{bo} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ba} + \overrightarrow{cm} - \overrightarrow{ca}\)

После сгруппировки и упрощения получаем окончательный ответ:

\(\overrightarrow{bo} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ba} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ca} - \overrightarrow{ca}\)

\(\overrightarrow{bo} = \frac{1}{2}\overrightarrow{ba} - \frac{1}{2}\overrightarrow{ca}\)

Итак, выражение вектора \(bo\) через векторы \(a\) в треугольнике \(abc\) равно \(\frac{1}{2}\overrightarrow{ba} - \frac{1}{2}\overrightarrow{ca}\).