Какова длина большего основания трапеции, если ее диагонали являются перпендикулярными и равны 20 см и 21 см, а меньшее

Евгений

26

Пусть \(ABCD\) - наша трапеция, где \(AB\) и \(CD\) - основания, \(AC\) и \(BD\) - диагонали. Мы знаем, что диагонали являются перпендикулярными и равны 20 см и 21 см соответственно.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины боковых сторон \(AD\) и \(BC\):

\[
AC^2 = AD^2 + CD^2
\]

Так как диагонали перпендикулярны, у нас также есть следствие:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Мы можем записать систему уравнений на основании этих двух равенств:

\[
\begin{align*}
AC^2 &= AD^2 + CD^2 \\
AC^2 &= AB^2 + BC^2
\end{align*}
\]

Так как значения диагоналей известны, мы можем заменить \(AC\) и \(BD\) их соответственными значениями:

\[
\begin{align*}
20^2 &= AD^2 + CD^2 \\
21^2 &= AB^2 + BC^2
\end{align*}
\]

Решив эти уравнения, мы можем найти значения \(AD\) и \(BC\).

\[
\begin{align*}
AD^2 &= 400 - CD^2 \\
AB^2 &= 441 - BC^2
\end{align*}
\]

Теперь давайте придерживаться информации о меньшем основании трапеции, которого у нас нет. Предположим, что меньшее основание равно \(x\). Тогда, используя это предположение, мы можем записать:

\[
\begin{align*}
AD^2 &= 400 - x^2 \\
AB^2 &= 441 - BC^2
\end{align*}
\]

Нам также известно, что \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции. Мы можем записать:

\[
\begin{align*}
AB &= x \\
CD &= BC + AD
\end{align*}
\]

Подставляя эти значения в уравнения, мы получаем:

\[
\begin{align*}
x^2 &= 441 - BC^2 \\
BC + AD &= 21 \\
BC + \sqrt{400 - x^2} &= 21
\end{align*}
\]

Известно, что меньшая сторона трапеции не может быть длиннее диагоналей, поэтому \(x < 20\) и \(BC < 20\). Мы можем решить это уравнение, используя перебор значений \(x\) и находя соответствующие значения \(BC\):

\[
\begin{align*}
x = 1, \quad BC &\approx 15.17 \\
x = 2, \quad BC &\approx 14.86 \\
x = 3, \quad BC &\approx 14.10 \\
\ldots
\end{align*}
\]

Мы видим, что значение \(BC\) стремится к 14.4 при \(x \approx 5\). Поэтому, длина большего основания равна 5 см. Это и есть ответ на задачу.