Какова длина большой полуоси орбиты Меркурия, если время его обращения вокруг Солнца составляет 0,241 год по Земле?

Ивановна

4

Для решения этой задачи нам понадобится закон Кеплера, который говорит, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты. Мы можем записать это в математической форме:

\[T^2 = \frac{{4\pi^2r^3}}{{G(M_1 + M_2)}}\]

Где:
- \(T\) - период обращения планеты (в нашем случае, Меркурия)
- \(r\) - большая полуось орбиты Меркурия
- \(G\) - гравитационная постоянная
- \(M_1\) - масса Солнца
- \(M_2\) - масса Меркурия

Мы знаем, что период обращения Меркурия вокруг Солнца составляет 0,241 год по Земле, поэтому мы можем подставить это значение в уравнение:

\[(0,241)^2 = \frac{{4\pi^2r^3}}{{GM_1}}\]

Теперь мы должны найти значения гравитационной постоянной (\(G\)) и массу Солнца (\(M_1\)). Гравитационная постоянная равна приблизительно \(6,67430 \times 10^{-11}\) м^3/(кг * с^2), а масса Солнца составляет примерно \(1,989 \times 10^{30}\) кг.

Подставим эти значения в уравнение:

\[(0,241)^2 = \frac{{4\pi^2r^3}}{{6,67430 \times 10^{-11} \cdot 1,989 \times 10^{30}}}\]

Теперь нам остается только решить это уравнение относительно \(r\). Мы можем сделать это, умножив обе стороны уравнения на знаменатель и затем извлекая кубический корень с обеих сторон:

\[r = \sqrt[3]{\frac{{(0,241)^2 \cdot 6,67430 \times 10^{-11} \cdot 1,989 \times 10^{30}}}{{4\pi^2}}}\]

После выполнения всех необходимых вычислений, получим окончательный ответ: длина большой полуоси орбиты Меркурия составляет примерно \(\boxed{0,387 \cdot 10^{12}}\) метров.