Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 4 см и 9 см, а угол между ними составляет 120°?

Весна

28

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус двойное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В данном случае мы имеем параллелограмм, у которого противоположные стороны равны. Таким образом, AB = 4 см и CD = 4 см.

Также, нам дан угол между сторонами AB и CD, который равен 120°. Для вычисления длин диагоналей, нам необходимо найти длины сторон AC и BD параллелограмма.

Найдем длину стороны AC. В параллелограмме ACBD диагональ AC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, где AB = 4 см и угол BAC = 120°. Для нахождения длины стороны AC воспользуемся теоремой косинусов:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(BAC) \]

Заменим известные значения и вычислим:

\[ AC^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \cos(120°) \]
\[ AC^2 = 16 + 81 - 72 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \]
\[ AC^2 = 16 + 81 + 36 \]
\[ AC^2 = 133 \]

Теперь найдем длину стороны BD. Используем ту же теорему косинусов для треугольника BCD:

\[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(180° - BAC) \]

Противоположный угол BAC является дополнительным углом угла BCD, поэтому можно записать:

\[ \cos(180° - BAC) = -\cos(BAC) \]

Подставив известные значения, получим:

\[ BD^2 = 9^2 + 4^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4 \cdot \cos(120°) \]
\[ BD^2 = 81 + 16 - 72 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \]
\[ BD^2 = 81 + 16 + 36 \]
\[ BD^2 = 133 \]

Таким образом, мы получили, что длина стороны AC равна \(\sqrt{133}\) см, а длина стороны BD также равна \(\sqrt{133}\) см. Ответ: AC = BD = \(\sqrt{133}\) см.